Question

Решить диф уравнение y'+y/x=3x^2+1

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Домножим обе части на $x:$

$xy' + y = 3x^3 + x.$

Заметим, что $(xy)' = x'y + xy' = y + xy',$ то есть уравнение переписывается так:

$(xy)' = 3x^3 + x.$

Интегрируя, получаем:

$xy = \int 3x^3 + x dx = \frac{3}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 + C$

Осталось поделить на $x$ и получить семейство решений:

$y = \frac{3}{4}x^3 + \frac{1}{2}x + \frac{C}{x}$

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение выглядит следующим образом:

y' + y/x = 3x^2 + 1

Для решения данного уравнения мы воспользуемся методом вариации постоянной. Сначала приведем уравнение к каноническому виду:

y' + (1/x)y = 3x^2 + 1

Это линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Его общее решение имеет вид:

y(x) = y_h(x) + y_p(x),

где y_h(x) - общее решение однородного уравнения (с правой частью равной нулю), а y_p(x) - частное решение неоднородного уравнения (с правой частью 3x^2 + 1).

1. Решим сначала однородное уравнение: y' + (1/x)y = 0

Для решения этого уравнения применим метод разделяющихся переменных и получим: dy/y = -dx/x ln|y| = -ln|x| + C1 ln|y| = ln(1/|x|) + C1 ln|y| = ln(|1/x|) + C1 ln|y| = ln|1/x| + C1 ln|y| = ln|1| - ln|x| + C1 ln|y| = -ln|x| + C1

Применяя экспоненту к обеим сторонам, получим: |y| = e^C1 * e^(-ln|x|) |y| = C * 1/|x| |y| = C/|x|

где C = e^C1 - произвольная константа.

Таким образом, общее решение однородного уравнения: y_h(x) = C/x.

2. Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Попробуем искать частное решение в виде: y_p(x) = ax^2 + bx + c.

Подставляем это в уравнение и находим производные: y_p'(x) = 2a*x + b, y_p''(x) = 2a.

Подставляем в исходное уравнение и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x: 2a + b/x + (ax^2 + bx + c)/x = 3x^2 + 1.

Сравнивая коэффициенты, получаем систему уравнений: 2a + b = 1, a + b + c = 3.

Из первого уравнения можно выразить b через a: b = 1 - 2a. Подставляя это во второе уравнение, получаем: a + (1 - 2a) + c = 3, откуда c = 2a + 2.

Таким образом, a произвольное, исходя из него находим b и c: a = a, b = 1 - 2a, c = 2a + 2.

Частное решение: y_p(x) = a*x^2 + (1 - 2a)*x + 2a + 2.

3. Общее решение исходного уравнения: y(x) = y_h(x) + y_p(x) y(x) = C/x + (a*x^2 + (1 - 2a)*x + 2a + 2).

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.