Question

Дано три точки A(1; 3; -1), B(-2, 4, 2), C(0; 3; -1). Найдите координаты точек D(x,y,z), если вектора AB и CD противоположны.

Answer 1

Ответ:

Найдем координаты вектора АВ:

AB(-2-1; 4-3; 2+1) ⇒ AB(-3; 1; 3)

вектор АВ противоположный CD, тогда координаты вектора CD(3; -1; -3)

точка D будет иметь координаты :

(х-0; у-3; z+1)=(3; -1; -3)

подберем x, y, z

D(3; 2; -4)

В-дь: (3; 2; -4)

Answer 2

Чтобы векторы AB и CD были противоположными, их направления должны быть противоположными, а значит, векторы AB и -CD должны быть коллинеарными. Таким образом, можно установить пропорциональность между их компонентами.

Вектор AB можно найти как разность координат точек B и A:

AB = B - A = (-2 - 1, 4 - 3, 2 - (-1)) = (-3, 1, 3).

Поскольку AB и -CD коллинеарны, можно установить пропорциональность между их компонентами:

AB = -k * CD,

где k - коэффициент пропорциональности.

Таким образом,

(-3, 1, 3) = -k * (x - 0, y - 3, z - (-1)).

Раскроем умножение:

(-3, 1, 3) = (-kx, -3ky, -kz - k).

Теперь можем установить соответствующие компоненты:

-3 = -kx, 1 = -3ky, 3 = -kz - k.

Из второго уравнения получаем, что ky = -1/3. Подставляем это значение в первое уравнение:

-3 = -kx, k = 1.

Теперь можем найти z из третьего уравнения:

3 = kz + k, 3 = z - 1, z = 4.

И, наконец, находим x:

-3 = -kx, -3 = -1 * x, x = 3.

Таким образом, координаты точки D(x, y, z) равны (3, -1/3, 4).