Question

Найдите промежутки возрастания и убывания функции от 0 до 3 y=x^4+3x^2-4

Answer 1

На интервале [0; 3] функция только возрастает.

Полное решение на фото.

Answer 2

Для найти промежутки возрастания и убывания функции $y = x^4 + 3x^2 - 4$ на интервале [0, 3], нужно найти первую и вторую производные этой функции и проанализировать их знаки.

Первая производная: $y' = 4x^3 + 6x.$

Вторая производная: $y'' = 12x^2 + 6.$

Теперь определим, где первая производная положительна (функция возрастает) или отрицательна (функция убывает).

1. Найдем точки, где $y' = 0$: $4x^3 + 6x = 0.$ $2x(2x^2 + 3) = 0.$

Это уравнение имеет два корня: $x = 0$ и $x = -\sqrt{\frac{3}{2}}$.

2. Выберем тестовую точку в каждом интервале, образованном найденными корнями и концами интервала [0, 3]:

   • При $x = -\sqrt{\frac{3}{2}}$ первая производная $y'$ отрицательна, следовательно, функция убывает на интервале $(-\sqrt{\frac{3}{2}}, 0)$.
   • При $x = 1$ первая производная $y'$ положительна, следовательно, функция возрастает на интервале $(0, 3)$.

Теперь анализируем вторую производную $y''$ для определения выпуклости и вогнутости функции.

3. Если $y'' > 0$, то функция выпукла вверх (concave up), а если $y'' < 0$, то функция вогнута вниз (concave down).

Подставим значения $x$ из интервалов [0, 3] во вторую производную:

scssCopy code
- При \(x = 0\), \(y'' = 6\) (положительное), значит, функция выпукла вверх на интервале [0, 3].
- При \(x = 3\), \(y'' = 114\) (положительное), также функция выпукла вверх на интервале [0, 3].

Итак, функция $y = x^4 + 3x^2 - 4$ возрастает на интервале $(0, 3)$ и выпукла вверх на всем этом интервале.