Question

В квадрат со стороной 4 см вписана окружность. В окружность вписан второй квадрат, и т.д. Найдите сумму площадей всех квадратов

Answer 1

В квадрат со стороной 4 см вписана окружность. В окружность вписан второй квадрат, и т.д. Найдите сумму площадей всех квадратов

Пошаговое объяснение:

Сторона правильного 4-х угольника через радиус описанной окружности а₄=R√2.Тогда сторона первого вписанного квадрата а₄=2√2, т.к. радиус вписанной окружности равен половине стороны описанного квадрата.

Стороны квадратов    4,   2√2,  2.......;

Площади квадратов   16,   8,     4.........

Это БЕСКОНЕЧНО убывающая геометрическая прогрессия , т.к.

q=8:16=0,5 , |0,5|<1.  

S=в₁:(1-q)    ,   S=16:(1-0,5) =16:0,5=32

Answer 2

Последовательность квадратов, вписанных друг в друга, образует фигуру, называемую "квадратами в квадрате" или "квадратами внутри квадрата". Первый (наибольший) квадрат имеет сторону 4 см, так как он вписан в исходный квадрат со стороной 4 см.

Чтобы найти сумму площадей всех квадратов, мы можем использовать бесконечную геометрическую прогрессию. Площадь каждого следующего квадрата будет составлять четверть площади предыдущего квадрата (потому что каждая сторона нового квадрата вдвое меньше стороны предыдущего).

Пусть $a$ - площадь первого (наибольшего) квадрата, тогда:

Площадь первого квадрата: $a = 4^2 = 16$ кв. см.

Площадь второго квадрата: $a_2 = \frac{a}{4} = 4$ кв. см.

Площадь третьего квадрата: $a_3 = \frac{a_2}{4} = 1$ кв. см.

И так далее...

Таким образом, сумма площадей всех квадратов будет:

$S = a + a_2 + a_3 + \ldots = 16 + 4 + 1 + \ldots$

Это представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом ($a = 16$) и частным отношением ($r = \frac{1}{4}$).

Формула для суммы бесконечной геометрической прогрессии:

$S = \frac{a}{1 - r}$

Подставляя значения, получим:

$S = \frac{16}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{16}{\frac{3}{4}} = \frac{64}{3} \approx 21.33$

Итак, сумма площадей всех вписанных квадратов равна примерно $21.33$ кв. см.