Question

Решите уравнение Lg^2x+lgx^3 =4

Answer 1

Ответ:

{0,0001; 10}

Пошаговое объяснение:

Дано уравнение lg²x+lgx³=4.

Область допустимых значений: x>0 ⇔ x∈(0; +∞).

Преобразуем уравнение, использую свойство логарифма:

logₐbⁿ=n·logₐb.

Тогда

lg²x+3·lgx-4=0.

Далее, обозначим: y=lgx.

Получим квадратное уравнение:

y²+3·y-4=0.

Решаем квадратное уравнение

D=3²-4·1·(-4)=9+16=25=5²,

y₁ = (-3-5)/(2·1) = -8/2 = -4, y₂ = (-3+5)/(2·1) = 2/2 = 1.

Обратная подстановка:

lgx = y₁ ⇔ lgx = -4 ⇔ x₁ = 10⁻⁴ = 0,0001 >0 - подходит,

lgx = y₂ ⇔ lgx = 1 ⇔ x₂ = 10¹ = 10 >0 - подходит.

Answer 2

Давайте решим уравнение:

lg^2(x) + lg(x^3) = 4

Первым шагом мы можем использовать свойство логарифмов: lg(a^b) = b * lg(a). Применим это ко второму члену:

lg(x^3) = 3 * lg(x)

Теперь уравнение можно переписать:

lg^2(x) + 3 * lg(x) = 4

Пусть t = lg(x). Тогда:

t^2 + 3t = 4

Теперь это квадратное уравнение, которое можно решить факторизацией или используя квадратное уравнение:

t^2 + 3t - 4 = 0

Факторизуем:

(t + 4)(t - 1) = 0

Таким образом, получаем два возможных значения t:

1. t + 4 = 0 => t = -4
2. t - 1 = 0 => t = 1

Теперь вернемся к выражению t = lg(x):

1. lg(x) = -4
2. lg(x) = 1

Для первого случая:

lg(x) = -4 x = 10^(-4) = 0.0001

Для второго случая:

lg(x) = 1 x = 10^1 = 10

Итак, уравнение имеет два решения: x = 0.0001 и x = 10.