Question

Подскажите пожалуйста как решить уравнение log8( 2 sin^2⁡х - 9 sin⁡( 3π/2-х )+5 )=1/3

Answer 1

Ответ:

log8( 2 sin²⁡х - 9 sin⁡( (3π)/2-х )+5 )=1/3

(log(5+9cosx+2sin²x)/log8 =1/3

log(5+9cosx+2sin²x=log8/3

log(5+9cosx+2sin²x=log2

5+9cosx+2sin²x=2

-(cosx-5)(2cosx+1)=0

(cosx-5)(2cosx+1)=0

cosx-5=0;  2cosx+1=0

cosx=5;  2cosx+1=0

2cosx+1=0

2cosx= -1

cosx= -1/2

x= 2πn₁+2π/3,  n₁ ∈ Z

Для корня π/2 + πn,  n ∈ Z

-4π ≤ π/2 + πn ≤ -5π/2

-4 ≤ 1/2 + n ≤  -5/2

-9/2 ≤ n ≤ -5/2

имеем целое значение n= -4 и корень π/2-4π= -5π/2

Answer 2

Для решения данного уравнения с логарифмами и тригонометрическими функциями, следуйте этим шагам:

1. Начните с преобразования выражения внутри логарифма: log₈(2 sin²(x) - 9 sin(3π/2 - x) + 5) = 1/3

2. Преобразуйте аргумент логарифма, используя тригонометрические тождества: sin(3π/2 - x) = sin(π/2 + x) = cos(x)

   Теперь выражение внутри логарифма преобразуется в: 2 sin²(x) - 9 cos(x) + 5

3. Теперь у вас есть уравнение: log₈(2 sin²(x) - 9 cos(x) + 5) = 1/3

4. Преобразуйте логарифмическое уравнение в экспоненциальное уравнение: 2 sin²(x) - 9 cos(x) + 5 = 8^(1/3)

5. Решите полученное трансцендентное уравнение относительно x. Это может потребовать численных методов или графического анализа.

6. Найденные значения x могут быть проверены путем подстановки в исходное уравнение для проверки их корректности.

Так как получившееся уравнение трансцендентно и содержит как синус, так и косинус, аналитическое решение может быть сложным или вообще отсутствовать. В большинстве случаев придется прибегнуть к численным методам для нахождения приближенных значений x, удовлетворяющих уравнению.