Question

Найти интервалы монотонности и точки экстремумы функции y=x^3-6x^2-15x-10 СРОЧНО ОЧЕНЬ СРОЧНО​!!!!!!

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

сперва найдем точки экстремума

y' = 0 - это необходимое условие экстремума функции

y' = 3x² - 12x - 15

3x² - 12x - 15 = 0 ⇒ x₁ = -1 ;  x₂ = 5

это точки экстремума.

теперь посмотрим на них, кто есть кто

если у''(x₀) > 0 , то точка x₀ является точкой минимума функции.

если у''(x₀) < 0 , то точка x₀ - точка максимума

y'' = 6x-12

y''(-1) =  -18 < 0 - значит точка x = -1 точка максимума функции.

y''(5)  = 18  >0 - значит точка x = 5 точка минимума функции.

три отрезка получили

(-∞ ;-1)    y' > 0       функция возрастает

(-1;5)      y' < 0       функция убывает                

(5; +∞)     y'  > 0      функция возрастает

Answer 2

Для найти интервалы монотонности и точки экстремумы функции, первым шагом будет вычислить её производную и найти её корни (точки, где производная равна нулю). Затем можно будет анализировать знак производной на разных интервалах между корнями для определения монотонности, а также использовать теорему о знаке производной для определения типа экстремума (максимума или минимума) в точках, где производная меняет знак.

Итак, начнем с вычисления производной функции y = x^3 - 6x^2 - 15x - 10:

y' = 3x^2 - 12x - 15.

Теперь найдем корни этой производной, решив уравнение 3x^2 - 12x - 15 = 0:

3x^2 - 12x - 15 = 3(x^2 - 4x - 5) = 3(x - 5)(x + 1) = 0.

Отсюда получаем два корня: x = 5 и x = -1.

Теперь мы можем построить таблицу знаков производной на интервалах между корнями и анализировать монотонность:

Интервал	-1	-1 < x < 5	5	x > 5
y' (x)	+	-	+	+
Монотонность	Возрастает	Убывает (лок. мин.)	Возрастает	Возрастает

Таким образом, на интервале (-∞, -1) функция возрастает, на интервале (-1, 5) убывает (имеет локальный минимум), а на интервале (5, +∞) снова возрастает.

Теперь найдем значения функции в найденных критических точках (корнях производной) и на концах интервалов:

1. При x = -1: y(-1) = (-1)^3 - 6(-1)^2 - 15(-1) - 10 = -1 + 6 + 15 - 10 = 10.
2. При x = 5: y(5) = 5^3 - 6(5)^2 - 15(5) - 10 = 125 - 150 - 75 - 10 = -110.

Итак, у нас есть локальный минимум в точке (-1, 10) и нет локального максимума. Функция возрастает на интервалах (-∞, -1) и (5, +∞), а убывает на интервале (-1, 5).

Надеюсь, это решение помогло вам!