Question

Решите уравнение sin 2x - sin x = 2 cos x - 1

Answer 1

sin 2x - sin x = 2cos x - 1

2sin x cos x - sin x = 2cos x - 1

sin x (2cos x - 1) - (2cos x -1) = 0

(2cos x - 1)(sin x - 1) = 0

2cos x - 1 = 0;    x = ±π/3 + 2πn,n ∈ Z

sin x - 1 = 0;     x = π/2 + 2πk,k ∈ Z

Answer 2

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом:

Уравнение: sin(2x) - sin(x) = 2cos(x) - 1

Перепишем косинус в терминах синуса, используя тригонометрическое тождество: cos(x) = sqrt(1 - sin^2(x)):

sin(2x) - sin(x) = 2sqrt(1 - sin^2(x)) - 1

Теперь введем замену: пусть u = sin(x), тогда у нас будет:

sin(2x) - u = 2sqrt(1 - u^2) - 1

Подставим сюда тригонометрические тождества для синуса удвоенного угла: sin(2x) = 2sin(x)cos(x):

2sin(x)cos(x) - u = 2sqrt(1 - u^2) - 1

Теперь выразим cos(x) через u, используя определение cos(x) = sqrt(1 - sin^2(x)):

2sin(x)sqrt(1 - u^2) - u = 2sqrt(1 - u^2) - 1

Выразим 2sqrt(1 - u^2) с обеих сторон уравнения:

2sin(x)sqrt(1 - u^2) - u - 2sqrt(1 - u^2) = -1

Теперь можно вынести 2sqrt(1 - u^2) за скобку:

2sqrt(1 - u^2)(sin(x) - 1) - u = -1

Теперь делим обе стороны на (sin(x) - 1):

2sqrt(1 - u^2) - u / (sin(x) - 1) = -1 / (sin(x) - 1)

Итак, у нас есть уравнение для u:

2sqrt(1 - u^2) - 1 / (sin(x) - 1) = -1 / (sin(x) - 1)

Далее мы можем решить это уравнение численно, подставив различные значения sin(x) - 1 и найдя соответствующие значения u. Однако, это уравнение не имеет аналитического решения в явном виде, и решение можно найти только численными методами или приближенными методами.