Question

Решить уравнение: 2cos2x − 7sinx − 5 = 0. решите пожалуйста подробно прошу

Answer 1

Ответ:

$-\frac{\pi }{2} +2\pi n;(-1)^{k+1} *arcsin\dfrac{3}{4} +\pi k, ~n,k\in\mathbb {Z}.$

Пошаговое объяснение:

$2cos2x-7sinx-5=0.$

Применим формулу косинуса двойного угла

$cos2x=1-2sin^{2} x.$

$2(1-2sin^{2} x)-7sinx-5=0;\\2*1-2*2sin^{2} x-7sinx-5=0;\\2-4sin^{2} x-7sinx-5=0;\\-4sin^{2} x-7sinx-3=0|*(-1);\\4sin^{2} x+7sinx+3=0.$

Пусть $sinx=t, |t|\leq 1.$

Тогда уравнение принимает вид:

$4t^{2} +7t+3=0;\\D=7^{2} -4*4*3=49-48=1>0;\\\\t{_1}=\dfrac{-7-1}{8} =\dfrac{-8}{8} =-1;\\\\t{_2}=\dfrac{-7+1}{8} =\dfrac{-6}{8} =-\dfrac{3}{4} .$

Значит, получим

$1)sinx=-1;\\x=-\dfrac{\pi }{2} +2\pi n, ~n\in\mathbb {Z}$

$2) sinx=-\dfrac{3}{4} ;\\x=(-1)^{k} *arcsin(-\dfrac{3}{4} )+\pi k, ~k\in\mathbb {Z};\\x=(-1)^{k+1} *arcsin\dfrac{3}{4} +\pi k, ~k\in\mathbb {Z}.$

Answer 2

Давайте решим данное уравнение пошагово:

Уравнение: 2cos(2x) - 7sin(x) - 5 = 0

Первый шаг: Попробуем выразить синус и косинус через одну из них. Мы можем воспользоваться тригонометрической идентичностью для синуса двойного угла:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Теперь мы можем переписать косинус удвоенного угла через синус:

2cos(2x) = 2(1 - 2sin^2(x))

Подставляем это значение в исходное уравнение:

2(1 - 2sin^2(x)) - 7sin(x) - 5 = 0

Упростим уравнение:

2 - 4sin^2(x) - 7sin(x) - 5 = 0 -4sin^2(x) - 7sin(x) - 3 = 0

Второй шаг: Давайте введем временную переменную, например, y = sin(x). Тогда уравнение примет вид:

-4y^2 - 7y - 3 = 0

Третий шаг: Решим полученное квадратное уравнение относительно y. Для этого можно использовать квадратное уравнение:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = -4, b = -7 и c = -3. Подставляем значения:

y = (7 ± √((-7)^2 - 4*(-4)(-3))) / (2(-4)) y = (7 ± √(49 - 48)) / -8 y = (7 ± 1) / -8

Таким образом, получаем два возможных значения для y:

y₁ = -1 y₂ = -1/4

Четвертый шаг: Переходим от переменной y обратно к переменной x:

y₁ = sin(x) = -1 y₂ = sin(x) = -1/4

Для y₁, когда sin(x) = -1, это означает, что x находится в III или IV квадранте, где синус отрицателен и равен -1. Это соответствует углам 3π/2 и 2π.

Для y₂, когда sin(x) = -1/4, существует два угла в I и IV квадрантах, которые имеют такой синус. Однако, чтобы избежать дополнительных деталей, мы можем воспользоваться обратным синусом (или arcsin) на калькуляторе, чтобы найти приближенные значения для этих углов. Вычислив arcsin(-1/4), мы получим приблизительное значение угла, соответствующее этому синусу.

Пятый шаг: Таким образом, решения уравнения находятся при следующих значениях угла x:

x₁ = 3π/2 x₂ ≈ 7.18 (приблизительное значение, полученное из arcsin(-1/4)) x₃ = 2π

Это и есть полное решение уравнения 2cos(2x) - 7sin(x) - 5 = 0.