Question

Определение дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.Решите уравнения. 1) y´´- 5y´+4y=0 2) y´´-6y´+9y=0 3) 2y´´-3y´+4y=0

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет общий вид:

$ay'' + by' + cy = 0,$

где $a$, $b$ и $c$ - константы, причём $a \neq 0$.

Давайте решим каждое из предложенных уравнений:

1. $y'' - 5y' + 4y = 0$

Характеристическое уравнение: $a\lambda^2 + b\lambda + c = \lambda^2 - 5\lambda + 4 = 0$

Это уравнение имеет два корня: $\lambda_1 = 4$ и $\lambda_2 = 1$.

Общее решение: $y(t) = C_1 e^{4t} + C_2 e^{t},$ где $C_1$ и $C_2$ - произвольные константы.

2. $y'' - 6y' + 9y = 0$

Характеристическое уравнение: $\lambda^2 - 6\lambda + 9 = (\lambda - 3)^2 = 0$

Это уравнение имеет двойной корень: $\lambda_1 = \lambda_2 = 3$.

Общее решение: $y(t) = (C_1 + C_2 t) e^{3t},$ где $C_1$ и $C_2$ - произвольные константы.

3. $2y'' - 3y' + 4y = 0$

Делаем замену $2y = z$, тогда уравнение примет вид: $z'' - 3z' + 4z = 0$

Характеристическое уравнение: $\lambda^2 - 3\lambda + 4 = 0$

Это уравнение имеет комплексные корни: $\lambda_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{-7}}{2} = \frac{3}{2} \pm \frac{\sqrt{7}}{2} i$.

Общее решение: $z(t) = e^{\frac{3}{2}t} \left( C_1 \cos\left(\frac{\sqrt{7}}{2} t\right) + C_2 \sin\left(\frac{\sqrt{7}}{2} t\right) \right)$

Теперь, используя замену $z = 2y$, получаем: $y(t) = e^{\frac{3}{2}t} \left( C_1 \cos\left(\frac{\sqrt{7}}{2} t\right) + C_2 \sin\left(\frac{\sqrt{7}}{2} t\right) \right),$