Question

N!+4n-9=k в квадрате, помогите!!!

Answer 1

Ответ:

$n = 2, k = 1; n = 3, k = 3$

Пошаговое объяснение:

Итак, решаем уравнение

$n! + 4n - 9 = k^2$

в натуральных числах. Разберем сначала случай

$n \geq 4:$ тогда $n! \vdots 4$ (так как $n!$ содержит в разложении $4$) и $4n \vdots 4$. Значит левая часть по модулю $4$ дает остаток $-9 = 3 (mod\ 4)$.

Заметим, что уравнение

$3 = k^2 (mod\ 4)$ решений не имеет, так как $k^2 (mod\ 4)$ может давать такие остатки:

$0^2 = 0, 1^2 = 1, 2^2 = 4 = 0(\mod 4), 3^2 = 9 = 1 (mod\ 4)$. Заметим, что среди них нет значения $3$, то есть уравнение $3 = k^2 (mod\ 4)$ решений не имеет.

Осталось разобрать 4 случая: $n = 0, n = 1, n = 2. n = 3.$

$n = 0$:

$1 - 9 = k^2$

решений очевидно нет, так как левая часть отрицательна, а правая положительна.

$n = 1$:

$1 + 4 - 9 = k^2$

решений нет по тем же причинам, что и для $n = 0$.

$n = 2$:

$2 + 8 - 9 = k^2$

$1 = k^2$

$k = 1$ (если просят решение не в натуральных, а в целых, то нужно добавить в решения $k = -1$).

$n = 3$:

$9 = k^2$

$k = 3$ (и также, как в предыдущем пункте, если нужны целые решения $k = -3$ тоже подходит)

Answer 2

Вы ищете решение для уравнения $n! + 4n - 9 = k^2$, где $n$ и $k$ - целые числа. Давайте попробуем рассмотреть это уравнение.

1. Сначала давайте заметим, что $n! (факториал n)$ растет очень быстро с увеличением $n$. Если $n$ становится достаточно большим, то $n! > 4n - 9$, и это уравнение не имеет целых решений. Поэтому давайте сначала рассмотрим маленькие значения $n$.

2. Попробуем $n = 0$ и $n = 1$:

   • Для $n = 0$, уравнение становится: $0! + 4(0) - 9 = -9$. Это не является квадратом целого числа.
   • Для $n = 1$, уравнение становится: $1! + 4(1) - 9 = -4$. Это также не является квадратом целого числа.

3. Для $n = 2$, уравнение становится: $2! + 4(2) - 9 = 4 + 8 - 9 = 3$. Теперь у нас есть положительное целое число на правой стороне.

4. Для $n = 3$, уравнение становится: $3! + 4(3) - 9 = 6 + 12 - 9 = 9$. Это также положительное целое число.

5. Мы видим, что при $n = 2$ и $n = 3$ у нас есть целые решения для $k^2$.

Таким образом, у нас есть два решения этого уравнения:

1. Для $n = 2$, $k = \sqrt{3}$ (но это не целое число).
2. Для $n = 3$, $k = \sqrt{9} = 3$.

Вот и все целые решения этого уравнения.