Question

Решить уравнение: cos2x-3cos x+2=0

Answer 1

Ответ:

X(1)=pi/3+ 2pik; где k€Z.

X(2)= -pi/3+2pik; где k€Z.

X(3)=2pik; где k€Z.

Пошаговое объяснение:

соs2X-3cosX+2=0

Формула: сos2X=cos^2X-sin^2X

cos^2X-sin^2X-3cosX+2=0

cos^2x- (1 -cos^2X)-3cosx+2=0

cos^2X-1+cos^2X-3cosX+2=0

2cos2X-3cosX+1=0

Вводим замену: соsX=y

2y^2-3y+1=0

D=9-4×2×1=9-8=1>0

y(1)=3--1/ 4=1/2

y(2)=3+1/ 4=1

Возврат к замене:

1)cosX=y(1)

cosX=1/2

X(1)=pi/3+2pik; где k€Z

X(2)= -pi/3+2pik; где k€Z

2)cosX=y(2)

cosX=1

X(3)=2pik; где k€Z.

Answer 2

Для решения уравнения $\cos(2x) - 3\cos(x) + 2 = 0$, давайте введем замену $u = \cos(x)$. Тогда уравнение будет выглядеть так:

$\cos(2x) - 3\cos(x) + 2 = 0$ $\cos^2(x) - 3\cos(x) + 2 = 0$ $u^2 - 3u + 2 = 0$

Теперь мы можем решить квадратное уравнение относительно $u$:

$u^2 - 3u + 2 = 0$

Это уравнение можно факторизовать:

$(u - 2)(u - 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения $u$:

1. $u - 2 = 0$, тогда $u = 2$.
2. $u - 1 = 0$, тогда $u = 1$.

Но $u = \cos(x)$, так что у нас есть два уравнения:

1. $\cos(x) = 2$
2. $\cos(x) = 1$

Однако значения косинуса не могут быть больше 1 (для действительных чисел), так что решением будет только уравнение $\cos(x) = 1$. Это уравнение имеет бесконечно много решений:

$x = 2\pi n,$

где $n$ - целое число.