Question

Найдите точки экстремума функции y=x5 -5x4+3

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

y' = 5x^4 - 20x^3 = 5x^3 * (x - 4) = 0

x = 0    x= 4

  +                      -                  +

______0__________4________

   /                  \                      /

xmax = 0

xmin = 4

Answer 2

Для поиска точек экстремума функции $y = x^5 - 5x^4 + 3$ необходимо найти её производные и найти значения $x$, при которых производная равна нулю. Эти значения $x$ будут соответствовать точкам экстремума. Давайте начнем с вычисления производной функции:

$y = x^5 - 5x^4 + 3$

Производная первого порядка:

$y' = 5x^4 - 20x^3$

Теперь приравняем производную к нулю и найдем значения $x$:

$5x^4 - 20x^3 = 0$

$x^3(5x - 20) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения $x$:

1. $x = 0$
2. $5x - 20 = 0$, что дает $x = 4$

Теперь нужно проанализировать значения второй производной $y''$ в этих точках, чтобы определить, являются ли найденные значения $x$ точками минимума, максимума или седловыми точками.

Вторая производная:

$y'' = 20x^3 - 60x^2$

Подставим найденные значения $x$ и вычислим $y''$ в каждой из них:

1. При $x = 0$: $y''(0) = 20 \cdot 0^3 - 60 \cdot 0^2 = 0$

2. При $x = 4$: $y''(4) = 20 \cdot 4^3 - 60 \cdot 4^2 = 320 - 960 = -640$

Теперь мы видим, что $y''(0) = 0$ означает, что это точка не является точкой экстремума, а $y''(4) = -640$ означает, что это точка максимума.

Итак, у функции $y = x^5 - 5x^4 + 3$ есть точка максимума при $x = 4$, а в точке $x = 0$ нет экстремума.