Question

Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными y'(1+x^2)=1+y^2

Answer 1

$y'\cdot (1+x^2) = 1 + y^2$

$\frac{y'}{1+y^2} = \frac{1}{1+x^2}$

$\int \frac{y'}{1+y^2}\, dx = \int \frac{dx}{1+x^2}$

$\int \frac{dy}{1+y^2} = \int \frac{dx}{1+x^2}$

$arctg(y) = arctg(x) + C$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, давайте начнем с разделения переменных и последующего интегрирования.

Уравнение: $y'(1+x^2) = 1 + y^2$

Давайте разделим переменные, переместив все, что содержит y на одну сторону, а все, что содержит x, на другую сторону:

$\frac{y'}{1+y^2} = \frac{1}{1+x^2}$

Теперь интегрируем обе стороны уравнения:

$\int \frac{y'}{1+y^2} \, dy = \int \frac{1}{1+x^2} \, dx$

Левую часть можно интегрировать, используя подстановку $u = y$, $du = y' \, dx$, а также применив арктангенс:

$\int \frac{1}{1+y^2} \, dy = \int \frac{1}{1+u^2} \, du = \arctan(u) + C_1$

Для правой части используем подстановку $v = x$, $dv = dx$, и интеграл будет арктангенсом также:

$\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan(v) + C_2$

Теперь подставим обратные замены для $u$ и $v$ и получим:

$\arctan(y) + C_1 = \arctan(x) + C_2$

Выразим $y$:

$\arctan(y) = \arctan(x) + C$, где $C = C_2 - C_1$

Возьмем тангенс от обеих сторон:

$y = \tan(\arctan(x) + C)$

Используя тригонометрическое тождество для суммы аргументов тангенса:

$y = \frac{\tan(\arctan(x)) + \tan(C)}{1 - \tan(\arctan(x))\tan(C)}$

Так как $\tan(\arctan(x)) = x$, получаем:

$y = \frac{x + \tan(C)}{1 - x\tan(C)}$

Итак, общее решение данного дифференциального уравнения:

$y(x) = \frac{x + \tan(C)}{1 - x\tan(C)}$

где $C$ - произвольная постоянная.