Question

Найдите последнюю цифру в числах 3131(в 1313 степени) и 1313(в 3131 степени)

Answer 1

Последняя цифра числа равна остатку от деления на 10 этого числа.

Поскольку $3131\equiv 1 \mod 10$, то очевидно, что $3131^{1313}\equiv 1^{1313}\equiv 1\mod 10$, то есть это число оканчивается на 1.

Аналогично $1313 \equiv 3^{3131}= 3^{3130}\times 3=(3^2)^{1565}\times 3\equiv -1\times3\equiv 7\mod 10$.

Ответ: первое число оканчивается на 1, второе — на 7

Answer 2

Для нахождения последней цифры числа, возведенного в некоторую степень, можно воспользоваться свойством цикличности последних цифр.

Посмотрим на последние цифры степеней числа 3:

3^1 = 3 3^2 = 9 3^3 = 27 3^4 = 81 3^5 = 243

Как видно, последние цифры образуют цикл: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, и так далее.

Теперь применим это свойство к числам 3131^(1313) и 1313^(3131):

3131^(1313) - последняя цифра 1313 - это 3 (так как 1313 % 4 = 1, и она соответствует первому элементу цикла). 1313^(3131) - последняя цифра 3131 - это 1 (так как 3131 % 4 = 3, и она соответствует четвертому элементу цикла).

Итак, последняя цифра числа 3131^(1313) равна 3, а последняя цифра числа 1313^(3131) равна 1.