Question

Пользуясь формулой Маклорена найти коэффициент при (x-x0)^5 в разложении f(x) в окрестности x0=0, y=ln(2-3x+x^2). Нужно полное решение, заранее спасибо! (Мат.анализ 1й курс)

Answer 1

Ответ:

$-\frac{33}{160}$

Пошаговое объяснение:

Решение в приложении

Answer 2

Для нахождения коэффициента при $(x - x_0)^5$ в разложении функции $f(x)$ в окрестности $x_0 = 0$, мы можем воспользоваться формулой Маклорена (или рядом Тейлора), которая выглядит следующим образом:

$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \frac{f'''(x_0)}{3!}(x - x_0)^3 + \frac{f^{(4)}(x_0)}{4!}(x - x_0)^4 + \frac{f^{(5)}(x_0)}{5!}(x - x_0)^5 + \ldots$

Для вашей функции $f(x) = \ln(2 - 3x + x^2)$ и $x_0 = 0$ первые несколько производных в точке $x_0 = 0$ выглядят следующим образом:

$f(0) = \ln(2)$

$f'(x) = \frac{d}{dx} \ln(2 - 3x + x^2) = \frac{1}{2 - 3x + x^2} \cdot (-3 + 2x) \Bigg|_{x=0} = -3$

$f''(x) = \frac{d}{dx} (-3) = 0$

$f'''(x) = \frac{d}{dx} (0) = 0$

$f^{(4)}(x) = \frac{d}{dx} (0) = 0$

$f^{(5)}(x) = \frac{d}{dx} (0) = 0$

Теперь мы можем подставить эти значения в формулу Маклорена:

$f(x) = \ln(2) + (-3)(x - 0) + \frac{0}{2!}(x - 0)^2 + \frac{0}{3!}(x - 0)^3 + \frac{0}{4!}(x - 0)^4 + \frac{0}{5!}(x - 0)^5 + \ldots$

Учитывая, что все производные начиная с четвёртой равны нулю, мы видим, что коэффициент при $(x - 0)^5$ также равен нулю. Таким образом, разложение функции $f(x)$ в окрестности $x_0 = 0$ до пятого порядка включительно не содержит члена с $(x - 0)^5$, и этот коэффициент равен нулю.