Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = x2 − 3x − 4 на отрезке [−1;5] двумя способами: через производную функции и по формуле вершины параболы. Укажите промежутки убывания и возрастания функции. Будут ли найденные вами экстремумы условными, локальными или глобальными?

Answer 1

1 способ. производная равна 2х-3=0, если х=1.5

___-1_____1.5_______5__

           -                +

f(-1)=1+3−4=0

f(5)=25-15−4=6- наибольшее значение функции на отрезке [−1;5].

f(1.5)=2.25-4.5−4=-6.25- наименьшее значение на отрезке [−1;5].

Функция убывает при х∈(-∞;1.5] и возрастает при х∈ [1.5;+∞)

Если рассматривать функцию на отрезке [−1;5], то она убывает при х∈[-1;1.5] и возрастает при х∈ [1.5;5]

2 способ. Вершина параболы х₀=-b/2a=3/2=1.5

и так как первый коэффициент функции положителен, ветви параболы направлены вверх, значит, наименьшее значение функции парабола достигает при х=1.5∈ [−1;5].

оно равно у₀=f(x₀)=2.25-4.5-4=-6.25, наибольшее значение на отрезке достигается на одном из концов рассматриваемого отрезка и равно

f(5)=25-15−4=6

я бы назвал минимум данной функции локальным экстремумом, т.к. рассматриваем это значение на отрезке, а не на всей области определения R, наибольшее значение в точке х=5 равно 6, но это значение не является экстремумом.

Answer 2

Давайте начнем с анализа функции $f(x) = x^2 - 3x - 4$ на отрезке $[-1; 5]$.

1. Через производную функции:

Сначала найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = 2x - 3.$

Чтобы найти критические точки (где производная равна нулю или не существует), решим уравнение $f'(x) = 0$: $2x - 3 = 0.$ $2x = 3.$ $x = \frac{3}{2}.$

Критическая точка $x = \frac{3}{2}$ находится внутри интервала $[-1; 5]$, поэтому мы можем использовать её для анализа.

Теперь проверим знак производной в интервалах:

• Если $x < \frac{3}{2}$, то $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.
• Если $x > \frac{3}{2}$, то $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.

Следовательно, у нас есть минимум функции в точке $x = \frac{3}{2}$, так как функция сначала убывает и потом возрастает.

2. Через формулу вершины параболы:

Функция $f(x) = x^2 - 3x - 4$ имеет квадратичный вид, и её вершина будет находиться в точке $x = -\frac{b}{2a}$, где $a$ и $b$ - коэффициенты при $x^2$ и $x$ соответственно.

Из уравнения функции $f(x)$ видно, что $a = 1$ и $b = -3$. Подставим значения в формулу: $x_{\text{вершины}} = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2}.$

Это подтверждает, что вершина параболы находится в точке $x = \frac{3}{2}$.

Теперь мы знаем, что на данном интервале $x = \frac{3}{2}$ является точкой минимума.

Экстремумы:

Экстремумы, найденные выше, являются локальными, так как мы анализировали функцию только на заданном интервале $[-1; 5]$.

Следовательно, на отрезке $[-1; 5]$ наименьшее значение функции $f(x)$ равно $f\left(\frac{3}{2}\right)$, а наибольшее значение будет в одной из крайних точек, то есть в точке $x = -1$ или $x = 5$.

Значения функции:

$f\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 3 \cdot \frac{3}{2} - 4 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} - 4 = -\frac{23}{4}.$

$f(-1) = (-1)^2 - 3 \cdot (-1) - 4 = 1 + 3 - 4 = 0.$

$f(5) = 5^2 - 3 \cdot 5 - 4 = 25 - 15 - 4 = 6.$

Итак, наименьшее значение функции на интервале $[-1; 5]$ равно $-\frac{23}{4}$, а наибольшее значение равно $6$.