Question

Найдите наибольшее значение функции f(x)=x^3-x^2+x+1 на [-1;2,5]​

Answer 1

Ответ:

$f(x)=x^3-x^2+x+1\\/[-1;2,5]$

Найдем значение функции на концах отрезка

$f(-1)=-1-1-1+1=-2\\f(2,5)=15,625-6,25+2,5+1=12,875$

Найдем экстремумы

$f'(x)=3x^2-2x+1\\\\x_{1,2}=\frac{2^+_-\sqrt{4-12} }{6}\\D$

⇒корней нет, экстремумов нет

$x_{min}=-2\\x_{max}=12,875$

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции f(x) на заданном интервале [-1; 2.5], мы должны проанализировать значения функции на границах интервала и в критических точках внутри интервала.

1. Найдем значения функции на границах интервала:

   • При x = -1: f(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 + (-1) + 1 = -1 + 1 - 1 + 1 = 0.
   • При x = 2.5: f(2.5) = (2.5)^3 - (2.5)^2 + 2.5 + 1 = 15.625 - 6.25 + 2.5 + 1 = 13.875.

2. Найдем критические точки внутри интервала, где производная функции равна нулю: f'(x) = 3x^2 - 2x + 1. Для нахождения критических точек, решим уравнение f'(x) = 0. 3x^2 - 2x + 1 = 0. Решая это квадратное уравнение, получим два значения x: x = (-(-2) ± √((-2)^2 - 431))/(2*3) x = (2 ± √(4 - 12))/6 x = (2 ± √(-8))/6 x = (2 ± 2√2i)/6 x = (1 ± √2i)/3

   Обратите внимание, что полученные значения являются комплексными числами, так как дискриминант отрицателен. В данном случае, нет реальных критических точек внутри интервала [-1; 2.5].

3. Сравним значения функции на границах интервала и в критических точках: Значение функции на границах интервала: f(-1) = 0 f(2.5) = 13.875

   Наибольшее значение функции f(x) на интервале [-1; 2.5] равно 13.875 и достигается при x = 2.5.