Question

Найдите площадь фигуры ограниченной графиками следующих функций y = x^2 - 2x +2 x=0 x=1 y=0

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

     1                                                              1

S = ∫(x^2 - 2x + 2)dx = 1/3 * x^3 - x^2 + 2x  | = 1/3 - 1 + 2 - 0 = 4/3 кв.ед

     0                                                             0

Answer 2

Данная фигура ограничена графиками функций y = x^2 - 2x + 2, вертикальной линией x = 0, вертикальной линией x = 1 и горизонтальной линией y = 0.

Сначала найдем точки пересечения кривой y = x^2 - 2x + 2 с осями координат:

1. Чтобы найти точки пересечения с осью x, решим уравнение x^2 - 2x + 2 = 0: Для этого можно воспользоваться дискриминантом (D = b^2 - 4ac) квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0. В данном случае, a = 1, b = -2 и c = 2. D = (-2)^2 - 4 * 1 * 2 = 4 - 8 = -4. Поскольку дискриминант отрицателен, у уравнения нет действительных корней, следовательно, кривая не пересекает ось x.

2. Точки пересечения с осью y находятся при x = 0 и x = 1. Подставив эти значения в уравнение y = x^2 - 2x + 2, получим: Для x = 0: y = 0^2 - 2 * 0 + 2 = 2. Для x = 1: y = 1^2 - 2 * 1 + 2 = 1 - 2 + 2 = 1.

Итак, у нас есть следующие точки:

• (0, 2)
• (1, 1)

Теперь давайте посмотрим на график и поймем, какая фигура образуется.

График функции y = x^2 - 2x + 2 - это парабола, открывающаяся вверх с вершиной. Вершина параболы находится в точке, где x = -b / (2a), где a = 1, b = -2. x = -(-2) / (2 * 1) = 1. Подставив x = 1 в уравнение, получим y = 1^2 - 2 * 1 + 2 = 1 - 2 + 2 = 1. Таким образом, вершина параболы также находится в точке (1, 1).

Теперь у нас есть следующая информация:

• Точка A: (0, 2)
• Точка B: (1, 1)
• Точка C: (1, 0)

Фигура ограничена следующими отрезками: AB, BC и AC. Теперь мы можем вычислить площадь этой фигуры.

Площадь можно разбить на две части: площадь под параболой и площадь прямоугольника.

1. Площадь под параболой: Площадь под параболой можно вычислить как интеграл от x^2 - 2x + 2 по x от 0 до 1: ∫[0,1] (x^2 - 2x + 2) dx = [x^3/3 - x^2 + 2x] [0,1] = (1/3 - 1 + 2) - (0) = 4/3.

2. Площадь прямоугольника: Площадь прямоугольника ABDC равна ширине (1 - 0 = 1) умноженной на высоту (2 - 1 = 1), то есть 1.

Итак, общая площадь фигуры равна сумме площади под параболой и площади прямоугольника: 4/3 + 1 = 7/3.

Таким образом, площадь фигуры ограниченной графиками функций y = x^2 - 2x + 2, x = 0, x = 1 и y = 0 равна 7/3.