Question

Провести полное исследование функции и построить график y=2/(1- x^2)

Answer 1

Ответ:

=========================================

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Исследование функции y = 2/(1 - x^2) включает в себя анализ области определения, четности/нечетности, асимптот, точек пересечения с осями координат, экстремумов и интервалов монотонности. Давайте начнем с этого.

1. Область определения:

Функция определена для всех значений x, кроме тех, которые делают знаменатель равным нулю. Знаменатель равен нулю при x = 1 и x = -1. Таким образом, область определения функции: x ∈ (-∞, -1) и x ∈ (-1, 1) и x ∈ (1, ∞).

2. Четность/нечетность:

Посмотрим на функцию: y = 2/(1 - x^2). Подставим -x вместо x и упростим выражение: y(-x) = 2/(1 - (-x)^2) = 2/(1 - x^2). Мы видим, что y(x) = y(-x), следовательно, функция четная.

3. Асимптоты:

Функция может иметь горизонтальные и вертикальные асимптоты.

a. Вертикальные асимптоты: Знаменатель функции обращается в нуль при x = 1 и x = -1. Это означает, что функция может иметь вертикальные асимптоты в этих точках. Однако, проведя анализ, мы видим, что вертикальных асимптот нет.

b. Горизонтальные асимптоты: При x стремящемся к бесконечности или минус бесконечности, функция стремится к 0. Это можно интерпретировать как горизонтальную асимптоту у y = 0.

4. Точки пересечения с осями координат:

a. Ось X: При y = 0, уравнение будет: 2/(1 - x^2) = 0. Отсюда получаем x = 0.

b. Ось Y: При x = 0, уравнение дает y = 2.

Таким образом, функция пересекает ось Y в точке (0, 2).

5. Экстремумы и интервалы монотонности:

Для анализа экстремумов и интервалов монотонности найдем производную функции:

y = 2/(1 - x^2) y' = d/dx [2/(1 - x^2)] y' = 2 * (1 - x^2)^(-2) * (-2x) y' = -4x / (1 - x^2)^2

Производная равна нулю при x = 0. Смена знака производной происходит при x < 0 и x > 0. Это означает, что функция убывает на интервале (-∞, 0) и возрастает на интервале (0, ∞).

6. Построение графика:

На графике видно, как функция стремится к вертикальной асимптоте x = -1 и x = 1, и имеет горизонтальную асимптоту y = 0. Точка пересечения с осью Y находится в (0, 2). Функция убывает на интервале (-∞, 0) и возрастает на интервале (0, ∞).