Question

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 8, боковое ребро равно 2√3 . Точка K делит ребро A1B1 так, что B1K:KA1=1:3. Найдите площадь сечения, проходящего через точки A, C и К.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей.

У нас есть правильная треугольная призма ABCA1B1C1 с основанием ABC и высотой B1C. Сторона основания равна 8, а боковое ребро B1C1 равно 2√3. Точка K делит ребро A1B1 так, что B1K:KA1=1:3.

Первым шагом мы можем найти высоту призмы B1C1. В прямоугольном треугольнике B1C1A1, где B1C1 - гипотенуза, B1K - катет, а KA1 - катет, у нас есть отношение длин:

B1K:KA1 = 1:3.

Пусть x - длина B1K, тогда длина KA1 будет 3x.

Используя теорему Пифагора в треугольнике B1C1A1:

(B1K)^2 + (KA1)^2 = (B1C1)^2, x^2 + (3x)^2 = (2√3)^2, x^2 + 9x^2 = 12, 10x^2 = 12, x^2 = 12 / 10, x^2 = 6 / 5, x = √(6 / 5).

Таким образом, длина B1K равна √(6 / 5), а длина KA1 равна 3 * √(6 / 5).

Теперь давайте рассмотрим треугольник AKB1. Мы знаем, что AK = KA1 = 3 * √(6 / 5) и B1K = √(6 / 5). Мы можем найти длину AB1:

AB1 = AK + KB1 = 3 * √(6 / 5) + √(6 / 5) = 4 * √(6 / 5).

Теперь мы можем найти площадь треугольника ABC:

S_ABC = (1/2) * AB1 * BC = (1/2) * 4 * √(6 / 5) * 8 = 16 * √(6 / 5).

Так как нас интересует площадь сечения, проходящего через точки A, C и K, то это будет просто площадь треугольника AKC:

S_AKC = (1/2) * AK * KC = (1/2) * 3 * √(6 / 5) * 8 = 12 * √(6 / 5).

Таким образом, площадь сечения, проходящего через точки A, C и K, равна 12 * √(6 / 5).