Question

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания AB равна 6, а боковое ребро AA1 равно 2 √2 . На рёбрах AB, A1B1 и B1C1 отмечены точки M , N и K соответственно, причём AM = B1N = C1K = 2 . а) Пусть L — точка пересечения плоскости MNK с ребром AC . Докажите, что MNKL — квадрат. б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK .

Answer 1

1) MN = √(2²+(2√2)²) = √(4+8) = √12 = 2√3.
    NK = √(2²+4²-2*2*4*cos60°) = √(4+16-16*(1/2)) = √(20-8) =
         = √12 = 2√3.
Отрезок ML равен NK по свойству секущей плоскости параллельных плоскостей (граней призмы).
Аналогично, KL равно MN.

Доказано, что стороны MNKL равны.
Осталось доказать, что диагонали этого четырёхугольника равны, - тогда он будет квадратом.

Диагональ MK = √(4²+(2√2)²) = √(16+8) = √24 = 2√6.
Аналогично NL = √(4²+(2√2)²) = √(16+8) = √24 = 2√6.

Доказано, что MNKL - квадрат.

2) В сечении призмы плоскостью MNK имеем пятиугольник.
Эту фигуру можно разделить на квадрат MNKL (его площадь S1) и равнобедренный треугольник KPL (S2) :
    S1 = (2√3)² = 12 кв.ед.
Для определения площади треугольника надо найти длины сторон.
Точка Р делит сторону СС1 пополам.
КР = PL = √(2²+(√2)²) = √(4+2) = √6.
KL принимаем равным MN = 2√3.
Площадь S2 находим по формуле Герона:
S2 = √p(p-a)(p-b)(p-c)).
Здесь р - полупериметр треугольника KPL и равен он  4,1815406.
Подставив значения сторон, находим:
S2 = 3.
Отсюда искомая площадь сечения (то есть пятиугольника) равна:
S = S1 + S2 = 12 + 3 = 15 кв.ед.

Answer 2

Введение

Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, где сторона основания AB равна 6, а боковое ребро AA1 равно 2√2. На ребрах AB, A1B1 и B1C1 отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = B1N = C1K = 2.

Требуется: а) Доказать, что MNKL является квадратом. б) Найти площадь сечения призмы плоскостью MNK.

Решение

a) Доказательство того, что MNKL является квадратом: В данной задаче мы имеем дело с правильной треугольной призмой, поэтому основание ABC является равносторонним треугольником, а сторона основания AB равна 6.

Длина бокового ребра AA1 равна 2√2, и точки M, N и K на ребрах AB, A1B1 и B1C1 соответственно отмечены таким образом, что AM = B1N = C1K = 2.

Так как треугольник ABC является равносторонним, то точка L, которая является точкой пересечения плоскости MNK с ребром AC, находится на равном удалении от точек M и K.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что AL = CL.

Также, так как AM = C1K = 2, то AM = AK = CK = CL.

Используя эти данные, мы можем сказать, что четырехугольник MNKL является квадратом, так как все его стороны равны.

b) Нахождение площади сечения призмы плоскостью MNK: Чтобы найти площадь сечения призмы плоскостью MNK, нам нужно вычислить площадь четырехугольника MNKL.

Так как MNKL является квадратом, то все его стороны равны. Пусть сторона квадрата равна s.

Тогда площадь квадрата равна s^2.

Так как AM = 2, а AB = 6, то BM = 6 - 2 = 4. Аналогично, BK = 4.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину диагонали квадрата MNKL. Диагональ квадрата равна √(сторона^2 + сторона^2) = √(s^2 + s^2) = √2s^2 = s√2.

Таким образом, площадь квадрата MNKL равна (s√2)^2 = 2s^2.

Известно, что AM = 2, поэтому сторона квадрата равна 2. Подставляя эту величину в формулу для площади квадрата, мы получаем:

Площадь сечения призмы плоскостью MNK = 2s^2 = 2(2^2) = 2 * 4 = 8.

Таким образом, площадь сечения призмы плоскостью MNK равна 8.