Question

1. Найти площадь треугольника АВС и угол в точке А, если координаты точек: А(-2;-3; 0), B(-4;-2; 4), С(2; 0; 1).​

Answer 1

Даны координаты точек:

Точка А            Точка В            Точка С  

x y z               x y z               x y z

-2 -3 0              -4 -2 4               2 0 1

Находим длины сторон.

AB = √((xB-xA)²+(yB-yA)²+(zB-zA)²)   = 4 1 16 21 4,582575695 c

BC = √((xC-xB)²+(yC-yB)²+(zC-zB)²)   = 36 4 9 49 7 a

AC = √((xC-xA)²+(yC-yA)²+(zC-zA)²)   = 16 9 1 26 5,099019514 b

Площадь определяем по формуле Герона.

Периметр АВС  Р =  16,68159521 p - a p - b p - c

Полупериметр р=  8,340797604 1,340797604 3,241778091 3,758221909

 S = √136,25 ≈ 11,67261753.

Угол А определяем по теореме косинусов.

cos A = (21 + 26 - 49)/(2*√21*√26) = -0,042796049

A = 1,61360545  радиан

92,4527821  градусов.

 

Answer 2

Для нахождения площади треугольника ABC и угла в точке А мы можем воспользоваться формулами из аналитической геометрии.

1. Нахождение площади треугольника ABC:

Площадь треугольника можно вычислить по формуле Герона, зная длины его сторон. Для начала, нам нужно вычислить длины сторон AB, BC и CA.

Длина стороны AB: AB = √((x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2) = √((-4 - (-2))^2 + (-2 - (-3))^2 + (4 - 0)^2) = √(4 + 1 + 16) = √21

Длина стороны BC: BC = √((x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2 + (z_C - z_B)^2) = √((2 - (-4))^2 + (0 - (-2))^2 + (1 - 4)^2) = √(36 + 4 + 9) = √49 = 7

Длина стороны CA: CA = √((x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2 + (z_A - z_C)^2) = √((-2 - 2)^2 + (-3 - 0)^2 + (0 - 1)^2) = √(16 + 9 + 1) = √26

Теперь мы можем использовать формулу Герона для вычисления площади треугольника:

S = √(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - CA))

где p - полупериметр треугольника, равный (AB + BC + CA) / 2.

p = (√21 + 7 + √26) / 2 ≈ 10.107

S = √(10.107 * (10.107 - √21) * (10.107 - 7) * (10.107 - √26)) ≈ 13.018

Итак, площадь треугольника ABC составляет приблизительно 13.018 квадратных единиц.

2. Нахождение угла в точке А:

Для нахождения угла в точке А, мы можем воспользоваться скалярным произведением векторов AB и AC:

cos(α) = (AB * AC) / (|AB| * |AC|)

где α - угол между векторами AB и AC.

AB = (-4 - (-2), -2 - (-3), 4 - 0) = (-2, 1, 4) AC = (2 - (-2), 0 - (-3), 1 - 0) = (4, 3, 1)

|AB| = √((-2)^2 + 1^2 + 4^2) = √21 |AC| = √(4^2 + 3^2 + 1^2) = √26

AB * AC = (-2 * 4) + (1 * 3) + (4 * 1) = -8 + 3 + 4 = -1

cos(α) = (-1) / (√21 * √26)

α = arccos((-1) / (√21 * √26))

Вычислительно, α ≈ 1.802 радиана. Чтобы перевести в градусы, нужно умножить на (180 / π):

α ≈ 103.16°

Итак, угол в точке А составляет примерно 103.16 градусов.