Question

17) Дана правильная треугольная пирамида со стороной основания 12. Боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом в 30о. Найдите объем описанного около пирамиды конуса.

Answer 1

Пошаговое объяснение: см. во вложении

Answer 2

Ответ:

V=64π кубических единиц объем искомого конуса.

Пошаговое объяснение:

Рисунок смотрите в приложении.

Объем конуса вычисляется по формуле

$V=\frac{\pi}{3}R^2*H$  (*).

Здесь R - радиус основания конуса, Н - высота конуса.

Найдем радиус основания конуса. Он равен радиусу описанной окружности основания пирамиды.

SO - высота конуса. Точка О - центр вписанной и описанной окружности правильного треугольника.

АО=R - длина радиуса описанной окружности.

Радиус описанной окружности вычисляется по формуле

$R=\frac{a}{\sqrt{3}}$,  где а - это длина стороны треугольника.

$R=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}$ единиц.

Из ΔАОS, который по построению прямоугольный (∠О=90°), по условию задачи ∠SAO=30°. Так как это и есть угол между ребром и основанием пирамиды.  Теперь из этого треугольника можно найти SO.  SO=AO*tg∠SAO.   SO=AO*tg30°,  

$SO=AO*\frac{1}{\sqrt{3}},$

$SO=4\sqrt{3}*\frac{1}{\sqrt{3}}$,

SO=4 единицы.

Подставим в формулу (*).

$V=\frac{\pi}{3} *(4\sqrt{3})^2*4$,

$V=\frac{\pi}{3}*4^2*3*4$

V=π*4³ кубических единиц.

V=64π кубических единиц.

Answer 3

Для решения этой задачи мы можем использовать геометрические свойства и формулы объёма пирамиды и конуса.

Из условия известно, что у нас есть правильная треугольная пирамида, у которой сторона основания равна 12, и боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 30°.

Первым шагом найдем высоту пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной бокового ребра пирамиды, его высотой и половиной стороны основания.

У нас есть следующая информация:

• Гипотенуза равна половине бокового ребра, то есть h/2.
• Одно из катетов равен половине стороны основания, то есть 12/2 = 6.
• Угол между гипотенузой и катетом равен 30°.

Используя тригонометрический соотношения для синуса: sin(30°) = противолежащий катет (h/2) / гипотенуза (6).

Отсюда можно выразить h/2: h/2 = 6 * sin(30°) = 6 * 0.5 = 3.

Таким образом, высота пирамиды равна h = 6.

Теперь мы можем использовать формулу для объема пирамиды: V_piramida = (1/3) * S_osnovaniya * h,

где S_osnovaniya - площадь основания пирамиды.

Площадь равностороннего треугольника (основания пирамиды) можно найти, используя формулу для площади треугольника: S_osnovaniya = (a^2 * √3) / 4,

где a - длина стороны треугольника (сторона основания пирамиды), a = 12.

Подставляя значения: S_osnovaniya = (12^2 * √3) / 4 = 36 * √3.

Теперь можем найти объем пирамиды: V_piramida = (1/3) * (36 * √3) * 6 = 72 * √3.

Итак, объем пирамиды равен 72 * √3.

Так как пирамида описана около конуса, то объем конуса равен объему пирамиды. Таким образом, объем описанного около пирамиды конуса равен 72 * √3.