Question

Доказать равенство множеств: А Δ В = (А ∪ В) \ (А ∩ В)

Answer 1

$(A\cup B) \backslash (A\cap B)=\{x|((x\in A)\vee(x\in B))\bigwedge (x \notin A\cap B)\}=\{x|((x\in A)\bigwedge (x \notin A\cap B))\vee((x\in B)\bigwedge (x \notin A\cap B))\}=\{x|((x\in A)\bigwedge (x \notin B))\vee((x\in B)\bigwedge (x \notin A))\}=A \Delta B$

Answer 2

Для доказательства равенства множеств $A \Delta B = (A \cup B) \setminus (A \cap B)$, где $A \Delta B$ обозначает симметрическую разность множеств $A$ и $B$, а $\setminus$ обозначает операцию разности множеств, мы можем воспользоваться определением симметрической разности и свойствами операций над множествами.

Симметрическая разность множеств $A$ и $B$ определяется как множество элементов, которые принадлежат только одному из множеств $A$ или $B$. Формально, $A \Delta B = (A \cup B) \setminus (A \cap B)$ означает, что элементы, которые принадлежат $A$ или $B$, но не принадлежат одновременно и $A$, и $B$, образуют симметрическую разность.

Давайте докажем это равенство:

1. Пусть $x$ - произвольный элемент множества $A \Delta B$. Это означает, что $x$ принадлежит только одному из множеств $A$ или $B$, но не принадлежит одновременно и $A$, и $B$.

2. Рассмотрим два случая:

   а) Если $x$ принадлежит множеству $A$ и не принадлежит множеству $B$, то $x$ принадлежит и $A \cup B$, и $A \cap B$. Следовательно, $x$ не принадлежит множеству $(A \cup B) \setminus (A \cap B)$.

   б) Если $x$ принадлежит множеству $B$ и не принадлежит множеству $A$, то аналогично, $x$ принадлежит и $A \cup B$, и $A \cap B$, и следовательно, $x$ не принадлежит множеству $(A \cup B) \setminus (A \cap B)$.

3. Таким образом, в обоих случаях $x$ не принадлежит множеству $(A \cup B) \setminus (A \cap B)$.

4. Обратно, пусть $y$ - произвольный элемент множества $(A \cup B) \setminus (A \cap B)$. Это означает, что $y$ принадлежит множеству $A \cup B$, но не принадлежит множеству $A \cap B$.

5. Рассмотрим два случая:

   а) Если $y$ принадлежит только множеству $A$ (но не принадлежит $B$), то $y$ будет принадлежать множеству $A \Delta B$.

   б) Если $y$ принадлежит только множеству $B$ (но не принадлежит $A$), то аналогично, $y$ будет принадлежать множеству $A \Delta B$.

6. Таким образом, в обоих случаях $y$ принадлежит множеству $A \Delta B$.

Итак, мы показали, что любой элемент, принадлежащий множеству $A \Delta B$, также принадлежит множеству $(A \cup B) \setminus (A \cap B)$, и наоборот. Это означает, что множества $A \Delta B$ и $(A \cup B) \setminus (A \cap B)$ состоят из одних и тех же элементов, следовательно, они равны:

$A \Delta B = (A \cup B) \setminus (A \cap B).$

Таким образом, равенство множеств $A \Delta B = (A \cup B) \setminus (A \cap B)$ доказано.