Question

отношение высоты и биссектрисы, проведённых из вершины прямоугольного треугольника равно 4:5 Найти отношение большего катета к меньшему

Answer 1

Ответ:7:1

Пошаговое объяснение:см. во вложении

Answer 2

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол A прямой. Пусть H - это высота, проведенная из вершины A, и BL - это биссектриса, также проведенная из вершины A. Дано, что отношение высоты к биссектрисе равно 4:5.

Тогда мы можем представить это следующим образом: $\frac{AH}{AL} = \frac{4}{5}$

Теперь мы можем воспользоваться тем, что высота и биссектриса делят угол A пополам. Таким образом, мы можем использовать свойство биссектрисы:

$\frac{BH}{BL} = \frac{AH}{AL}$

Поскольку прямоугольный треугольник ABC, у нас есть следующая связь между катетами:

$BH = AB - AH$

Также, из свойств биссектрисы и углов треугольника, мы можем установить следующее:

$\frac{BL}{AL} = \frac{BC}{AC}$

Но так как треугольник ABC прямоугольный, то $BC = AB$, и мы можем переписать это как:

$\frac{BL}{AL} = \frac{AB}{AC}$

Итак, у нас есть система уравнений:

$\frac{BH}{BL} = \frac{AH}{AL}$ $\frac{BL}{AL} = \frac{AB}{AC}$ $BH = AB - AH$

Заметим, что мы знаем, что отношение высоты к биссектрисе равно 4:5:

$\frac{AH}{AL} = \frac{4}{5}$

Мы можем подставить это в первое уравнение:

$\frac{BH}{BL} = \frac{4}{5}$

Теперь, используя второе уравнение и то, что $BC = AB$:

$\frac{BL}{AL} = \frac{AB}{AC} = \frac{BC}{AC} = \frac{AB}{AB + AC}$

Из этого уравнения мы можем выразить $\frac{AL}{AB}$:

$\frac{AL}{AB} = \frac{AB + AC}{AB} - 1 = \frac{AC}{AB}$

Теперь мы можем выразить $\frac{BL}{AL}$ через $\frac{AC}{AB}$:

$\frac{BL}{AL} = \frac{1}{\frac{AL}{AB}} = \frac{1}{\frac{AC}{AB}} = \frac{AB}{AC}$

Используем это в первом уравнении:

$\frac{BH}{BL} = \frac{4}{5}$ $\frac{AB - AH}{AB} = \frac{4}{5}$

Теперь мы можем выразить AH через AB:

$AH = AB - \frac{4}{5} \cdot AB = \frac{1}{5} \cdot AB$

Таким образом, высота AH равна одной пятой большого катета AB.

Теперь, когда у нас есть отношение высоты к большому катету, мы можем найти отношение большего катета к меньшему. Пусть $AC = x$, тогда