Question

Лф6) Вычислить: [ 3^(1+log4(5))×4^(log5(3))×5^(log3(4)) ] ÷ [ 3^(log5(4)) × 4^(log3(5)) × 5^(log4(3)) ] В понятном виде:Заранее большое спасибо!​

Answer 1

Ответ:

$3$

Пошаговое объяснение:

$\frac{3^{1+log_4 5}\cdot 4^{log_5{3}}\cdot 5^{log_3{4}}}{3^{log_5{4}}\cdot 4^{log_3{5}}\cdot 5^{log_4{3}}} = \frac{3^{1}\cdot 3^{log_4 5}\cdot 4^{log_5{3}}\cdot (3^{log_3{5}})^{log_3{4}}}{(5^{log_5{3}})^{log_5{4}}\cdot 4^{log_3{5}}\cdot (4^{log_4{5}})^{log_4{3}}} = \\ \\ = \frac{3 \cdot 3^{log_4 5}\cdot 4^{log_5{3}}\cdot (3^{log_3{4}})^{log_3{5}}}{(5^{log_5{4}})^{log_5{3}}\cdot 4^{log_3{5}}\cdot (4^{log_4{3}})^{log_4{5}}} =$

$= \frac{3 \cdot 3^{log_4 5}\cdot 4^{log_5{3}}\cdot 4^{log_3{5}}}{4^{log_5{3}}\cdot 4^{log_3{5}}\cdot 3^{log_4{5}}} = 3$

Answer 2

Давайте по порядку разберемся с выражением:

1. Начнем с внутренних степеней и логарифмов:

   • Выразим логарифмы через обычные степени с основанием, чтобы упростить вычисления:
     • log4(5) = (log(5)) / (log(4))
     • log5(3) = (log(3)) / (log(5))
     • log3(4) = (log(4)) / (log(3))
     • log5(4) = (log(4)) / (log(5))
     • log3(5) = (log(5)) / (log(3))
     • log4(3) = (log(3)) / (log(4))
   • Заметим, что (log(5)) / (log(4)) и (log(4)) / (log(5)) взаимно обратны, то же самое с (log(3)) / (log(4)) и (log(4)) / (log(3)), и аналогично для остальных пар.
   • Подставим обратные логарифмы в выражение и упростим:
     • 3^(1 + (log(5)) / (log(4))) × 4^((log(3)) / (log(5))) × 5^((log(4)) / (log(3))) ÷ (3^((log(4)) / (log(5))) × 4^((log(3)) / (log(4))) × 5^((log(5)) / (log(3))))

2. Упростим дроби:

   • (log(3)) / (log(5)) и (log(5)) / (log(3)) взаимно обратны, поэтому они сократятся.
   • Аналогично для остальных пар.
   • Получим:
     • 3^(1 + (log(5)) / (log(4))) × 4^((log(3)) / (log(5))) × 5^((log(4)) / (log(3))) ÷ (3^((log(4)) / (log(5))) × 4^((log(3)) / (log(4))) × 5^((log(5)) / (log(3))))
     • = 3^(1 + (log(5)) / (log(4))) × 4^((log(3)) / (log(4))) × 5^((log(4)) / (log(3))) ÷ (3^((log(3)) / (log(4))) × 4^((log(5)) / (log(5))) × 5^((log(3)) / (log(3))))

3. Любое число, возведенное в степень 0, равно 1, и любое число, возведенное в степень 1, равно самому себе. Также 4^(log(5)) = 5^(log(4)), и 5^(log(3)) = 3^(log(5)).

   • Получим:
     • = 3 × 4 × 5
     • = 60

Итак, выражение равно 60.