Question

Найдите значение выражения a^6+3a^2b^2+b^6,если a^2+b^2=1​

Answer 1

1 способ

a²+b²=1

Возводим в куб:

(a²+b²)³=1³

a⁶+3a⁴b²+3a²b⁴+b⁶=1  ⇒

a⁶+3a²b²(a²+b²)+b⁶=1

a⁶+3a²b²·1+b⁶=1

О т в е т. a⁶+3a²b²+b⁶=1

2 способ

a² + b² = 1   ⇒     b² = 1 - a²  и   подставляем в данное выражение:

a⁶+3a²b²+b⁶=a⁶+3a²(1-а²)+(1-a²)³=a⁶+3a²-3а⁴+1-3a²+3a⁴-a⁶=1

Answer 2

Ответ:

$1$

Пошаговое объяснение:

$a^2+b^2=1 \\ \\ a^6+3a^2b^2+b^6=(a^2)^3+(b^2)^3+3a^2b^2=(a^2+b^2)\cdot((a^2)^2-a^2b^2+(b^2)^2)+\\ \\ +3a^2b^2=1\cdot((a^2)^2-a^2b^2+(b^2)^2)+3a^2b^2=(a^2)^2-a^2b^2+(b^2)^2+3a^2b^2=\\ \\ =(a^2)^2+2a^2b^2+(b^2)^2=(a^2+b^2)^2=1^2=1$

Answer 3

Дано уравнение $a^2 + b^2 = 1$, и вам нужно найти значение выражения $a^6 + 3a^2b^2 + b^6$.

Мы можем воспользоваться формулой суммы кубов для разности кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2).$

Теперь возведем это выражение в куб: $(a^3 + b^3)^2 = (a + b)^2(a^2 - ab + b^2)^2.$

Раскроем квадрат суммы $a + b$: $(a^3 + b^3)^2 = (a^2 + 2ab + b^2)(a^2 - ab + b^2)^2.$

Мы знаем, что $a^2 + b^2 = 1$, следовательно, $2ab = 2(a^2 + b^2) - 2(a^2 + b^2) = 2 - 2 = 0$. Это означает, что $2ab$ обращается в ноль, и формула упрощается: $(a^3 + b^3)^2 = (a^2 - ab + b^2)^3.$

Теперь возводим это в шестую степень, как было дано в начальном выражении: $(a^6 + b^6 + 3a^2b^2)^2 = (a^2 - ab + b^2)^6.$

Теперь подставим значение $a^2 + b^2 = 1$ в выражение $a^2 - ab + b^2$: $a^2 - ab + b^2 = 1 - ab.$

Теперь подставляем это обратно в исходное уравнение: $(a^6 + b^6 + 3a^2b^2)^2 = (1 - ab)^6.$

Возводим в шестую степень: $(a^6 + b^6 + 3a^2b^2)^2 = 1 - 6ab + 15a^2b^2 - 20a^3b^3 + 15a^4b^4 - 6a^5b^5 + a^6b^6.$

Теперь заметим, что $a^2b^2$ можно выразить через $ab$: $a^2b^2 = (ab)^2 = (a^2)(b^2) = a^2 \cdot (1 - a^2) = a^2 - a^4.$