Question

Найти площадь фигуры, ограниченной параболами y=4-x^2 ,y=(x-2)^2

Answer 1

Пошаговое объяснение:

рисунок..................

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя параболами y = 4 - x^2 и y = (x - 2)^2, вам нужно найти точки их пересечения и затем вычислить определенный интеграл площади между ними.

Сначала найдем точки пересечения двух парабол. Приравняем их уравнения:

4 - x^2 = (x - 2)^2

Раскроем квадрат справа:

4 - x^2 = x^2 - 4x + 4

Теперь перенесем все члены на одну сторону:

2x^2 - 4x = 0

Факторизуем:

2x(x - 2) = 0

Отсюда получаем два значения x: x = 0 и x = 2.

Теперь подставим найденные значения x обратно в одно из уравнений парабол (например, y = 4 - x^2) для получения соответствующих y:

1. При x = 0: y = 4 - (0)^2 = 4
2. При x = 2: y = 4 - (2)^2 = 0

Таким образом, точки пересечения парабол это (0, 4) и (2, 0).

Чтобы найти площадь между этими двумя кривыми, нужно вычислить определенный интеграл от x = 0 до x = 2 разности y-значений данных парабол:

Площадь = ∫[0 to 2] [(4 - x^2) - (x - 2)^2] dx

Раскроем скобки и упростим:

Площадь = ∫[0 to 2] (4 - x^2 - (x^2 - 4x + 4)) dx Площадь = ∫[0 to 2] (4 - 2x^2 + 4x - 4) dx Площадь = ∫[0 to 2] (-2x^2 + 4x) dx

Интегрируя это выражение, получим:

Площадь = [-2/3 * x^3 + 2x^2] от 0 до 2 Площадь = (-2/3 * 2^3 + 2 * 2^2) - (-2/3 * 0^3 + 2 * 0^2) Площадь = (-16/3 + 8) - (0) Площадь = -16/3 + 24/3 Площадь = 8/3

Итак, площадь фигуры, ограниченной параболами y = 4 - x^2 и y = (x - 2)^2, равна 8/3 (приближенно 2.67) квадратных единиц.