Question

Найдите целые решения уравнения 2^x + 4*2^-x = 5 Помогите, пожалуйста!

Answer 1

2^х + 4*2^-х = 5

2^-х запишемо як 1/2^х

введемо нову змінну t нехай 2^х = t

t + 4/t = 5 помножимо праву та ліву частини на t та отримаємо t² + 4 = 5t зведемо до стандартного вигляду квадратного рівняння t² - 5t + 4 = 0 по Вієту корені рівняння 1 та 4

виконаємо зворотню заміну 2^х=1, 2^х=2^0, х=0 та 2^х=4, 2^х=2^2, х=2

ВІДПОВІДЬ: 0 та 2

Answer 2

Давайте рассмотрим данное уравнение:

2^x + 4 * 2^(-x) = 5

Сначала давайте представим 4 * 2^(-x) как одно слагаемое. Для этого домножим обе части уравнения на 2^x:

2^x * 2^x + 4 * 2^(-x) * 2^x = 5 * 2^x

Упростим:

2^(2x) + 4 = 5 * 2^x

Теперь давайте введем временную переменную, например, y = 2^x. Тогда уравнение примет вид:

y^2 + 4 = 5y

Полученное уравнение — квадратное относительно y. Перенесем всё в одну сторону:

y^2 - 5y + 4 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы видим, что у нас есть два числа (1 и 4), которые при перемножении дают 4 и при сложении дают -5. Значит, мы можем разложить это уравнение на два линейных:

(y - 4)(y - 1) = 0

Из этого получаем два возможных значения y:

1. y - 4 = 0 => y = 4
2. y - 1 = 0 => y = 1

Напомним, что y = 2^x. Теперь решим для x:

1. 2^x = 4 => x = 2
2. 2^x = 1 => x = 0

Итак, уравнение имеет два целых решения: x = 2 и x = 0.