Question

2cos²2x-2cos4x+4sin²x+2cos2x-5=5cos(5pi/2-2x)​Решите пожалуйста

Answer 1

Ответ:

$(-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{12} +\frac{\pi n}{2} ,~~n\in Z$

Пошаговое объяснение:

$2\cos^2{2x}-2\cos4x+4\sin^2{x}+2\cos{2x}-5=5\cos(\frac{5\pi}{2}-2x) \\ \\ 2\cos^2{2x}-2\cdot (2\cos^2{2x}-1)+2\cdot 2\sin^2{x}+2\cos{2x}-5=5\cos(\frac{4\pi}{2}+\frac{\pi}{2}-2x) \\ \\2\cos^2{2x}-4\cos^2{2x}+2+2\cdot (1-\cos{2x})+2\cos{2x}-5=5\cos(2\pi+\frac{\pi}{2}-2x) \\ \\-2\cos^2{2x}+2-2\cos{2x}+2\cos{2x}-3=5\cos(\frac{\pi}{2}-2x) \\ \\-2\cos^2{2x}-1=5\sin{2x} \\ \\-2\cdot(1-\sin^2{2x})-1-5\sin{2x}=0 \\ \\-2+2\sin^2{2x}-1-5\sin{2x}=0 \\ \\ 2\sin^2{2x}-5\sin{2x}-3=0 \\ \\ \sin{2x}=t,~~~-1\leq t\leq 1$

$2t^2-5t-3=0 \\ \\ D=(-5)^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25+24=49>0 \\ \\ t_{1,2}=\frac{-(-5)\pm \sqrt{49}}{2\cdot 2} =\frac{5\pm 7}{4} \\ \\ t_1=-\frac{1}{2}$

$t_2=2$-не подходит, так как $-1\leq t \leq 1$

$\sin{2x}=-\frac{1}{2} \\ \\ 2x=(-1)^n \cdot \arcsin(-\frac{1}{2} )+\pi n,~~n\in Z\\ \\ 2x=(-1)^n \cdot (-\arcsin \frac{1}{2} )+\pi n,~~n\in Z \\ \\ 2x=(-1)^n \cdot (- \frac{\pi}{6} )+\pi n,~~n\in Z \\ \\ 2x=(-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} +\pi n,~~n\in Z \\ \\ x=(-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{12} +\frac{\pi n}{2} ,~~n\in Z$

Answer 2

Давайте решим данное уравнение по шагам:

1. Распишем косинус и синус угла с разностью аргументов: 2cos²2x - 2cos4x + 4sin²x + 2cos2x - 5 = 5cos(5π/2 - 2x) 2cos²2x - 2cos4x + 4sin²x + 2cos2x - 5 = 5sin(2x - 5π/2)

2. Заменим cos²2x на 1 - sin²2x: 2(1 - sin²2x) - 2cos4x + 4sin²x + 2cos2x - 5 = 5sin(2x - 5π/2)

3. Раскроем скобки и упростим выражение: 2 - 2sin²2x - 2cos4x + 4sin²x + 2cos2x - 5 = 5sin(2x - 5π/2) -2sin²2x + 4sin²x - 2cos4x + 2cos2x - 3 = 5sin(2x - 5π/2)

4. Сгруппируем подобные слагаемые: 2sin²x - 2sin²2x + 2cos2x - 2cos4x - 5 = 5sin(2x - 5π/2)

5. Применим формулу синуса разности аргументов: 2sin²x - 2sin²2x + 2cos2x - 2cos4x - 5 = 5(sin2x * cos(5π/2) - cos2x * sin(5π/2))

6. Заменим значения синусов и косинусов углов: 2sin²x - 2sin²2x + 2cos2x - 2cos4x - 5 = 5(sin2x * 0 - cos2x * (-1))

7. Упростим выражение: 2sin²x - 2sin²2x + 2cos2x - 2cos4x - 5 = 5cos2x

8. Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения: 2sin²x - 2sin²2x + 2cos2x - 2cos4x - 5 - 5cos2x = 0

9. Упростим: 2sin²x - 2sin²2x - 3cos2x - 2cos4x - 5 = 0

Таким образом, мы получили квадратное уравнение с неизвестной sin(x). Решение этого уравнения можно получить численными методами или с использованием компьютерных программ.