Question

2cos²2x-12cos²x+cos4x-1=8sin(5pi/2+2x)Решите пожалуйста ​

Answer 1

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Answer 2

Ответ:

$-\frac{\pi}{3}+\pi n,~~\frac{\pi}{3}+\pi n,~~n\in Z$

Пошаговое объяснение:

$2\cos^2{2x}-12\cos^2{x}+\cos{4x}-1=8\sin{(\frac{5\pi}{2}+2x )} \\ \\ 2\cos^2{2x}-6\cdot 2\cos^2{x}+1+\cos{4x}-2=8\sin{(\frac{4\pi+\pi}{2}+2x )} \\ \\ \\2\cos^2{2x}-6\cdot(1+\cos{2x})+2\cos^2{\frac{4x}{2} }-2=8\sin{(\frac{4\pi}{2}+\frac{\pi}{2}+2x )} \\ \\ 2\cos^2{2x}-6-6\cos{2x}+2\cos^2{2x}-2=8\sin{(2\pi+\frac{\pi}{2}+2x )} \\ \\ 4\cos^2{2x}-6\cos{2x}-8=8\sin{(\frac{\pi}{2}+2x )} \\ \\ 4\cos^2{2x}-6\cos{2x}-8=8\cos{2x} \\ \\ 4\cos^2{2x}-14\cos{2x}-8=0~~~~~~|:2 \\ \\ 2\cos^2{2x}-7\cos{2x}-4=0$

$\cos{2x}=t,~~~-1\leq t\leq 1 \\ \\2t^2-7t-4=0 \\ \\ D=(-7)^2-4\cdot 2\cdot(-4)=49+32=81>0 \\ \\ t_{1,2}=\frac{-(-7)\pm \sqrt{81}}{2\cdot 2} =\frac{7\pm 9}{4} \\ \\ t_1=-\frac{1}{2}$

$t_2=4$-не подходит, так как $-1\leq t\leq 1$

$\cos{2x}=-\frac{1}{2} \\ \\ 2x=\pm \arccos(-\frac{1}{2})+2\pi n,~n\in Z\\ \\ 2x=\pm (\pi-\arccos\frac{1}{2})+2\pi n,~n\in Z\\ \\ 2x=\pm (\pi-\frac{\pi}{3})+2\pi n,~n\in Z\\ \\ 2x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,~n\in Z \\ \\ x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,~n\in Z$

Answer 3

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом:

Уравнение:

2cos²(2x) - 12cos²(x) + cos(4x) - 1 = 8sin(5π/2 + 2x)

Для начала, заметим, что угол 5π/2 равен 2π. Поэтому можно упростить правую часть уравнения:

8sin(5π/2 + 2x) = 8sin(2π + 2x) = 8sin(2x)

Теперь у нас есть следующее уравнение:

2cos²(2x) - 12cos²(x) + cos(4x) - 1 = 8sin(2x)

Перенесем все слагаемые в одну сторону уравнения:

2cos²(2x) - 12cos²(x) + cos(4x) - 1 - 8sin(2x) = 0

Теперь давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами для упрощения выражений:

1. cos(4x) = 2cos²(2x) - 1 (тождество двойного угла)
2. 8sin(2x) = 16sin(x)cos(x) (тождество суммы для синуса)

Подставим эти упрощенные выражения обратно в уравнение:

2cos²(2x) - 12cos²(x) + 2cos²(2x) - 1 - 16sin(x)cos(x) = 0

Теперь объединим слагаемые:

4cos²(2x) - 12cos²(x) - 16sin(x)cos(x) - 1 = 0

Используем тождество для произведения синуса и косинуса:

-16sin(x)cos(x) = -8sin(2x)

Подставляем это обратно в уравнение:

4cos²(2x) - 12cos²(x) - 8sin(2x) - 1 = 0

Теперь мы можем выразить cos²(2x) через cos²(x):

cos²(2x) = 1 - sin²(2x) cos²(2x) = 1 - (2sin(x)cos(x))^2 cos²(2x) = 1 - 4sin²(x)cos²(x) 4cos²(2x) = 4 - 16sin²(x)cos²(x)

Теперь подставляем это обратно в уравнение:

4 - 16sin²(x)cos²(x) - 12cos²(x) - 8sin(2x) - 1 = 0

Упростим:

-16sin²(x)cos²(x) - 12cos²(x) - 8sin(2x) + 3 = 0

Теперь факторизуем общий множитель cos²(x):

cos²(x)(-16sin²(x) - 12 - 8sin(2x)) + 3 = 0

Теперь у нас есть уравнение в виде произведения двух множителей:

cos²(x)(-16sin²(x) - 12 - 8sin(2x)) + 3 = 0

Теперь мы можем рассмотреть два случая: когда cos²(x) = 0 и когда -16sin²(x) - 12 - 8sin(2x) = 0.

1. Когда cos²(x) = 0, это означает, что cos(x) = 0. Такие значения x соответствуют π/2 + kπ, где k - целое число.

2. Когда -16sin²(x) - 12 - 8sin(2x) = 0, это уравнение довольно сложно решить в общем виде. Возможно, ошибка была допущена в исходном уравнении, или нужно использовать численные методы для его решения.

Обратите внимание, что аналитическое решение второго уравнения может быть достаточно сложным, и оно может потребовать применения численных методов для нахождения корней.