Question

Составить уравнение плоскости, отсекающей на оси Oy отрезок OB=5 и перпендикулярной к вектору n=(3,-2,4)

Answer 1

Ответ:

$3x-2y+4z+10=0$

Пошаговое объяснение:

Общее уравнение плоскости:  $Ax+By+Cz+D=0$, где $\vec{n}(A;B;C)$-нормальный вектор плоскости(вектор, перпендикулярный этой плоскости)

Так как $\vec{n}(3;-2;4)$, то уравнение плоскости примет вид $3x-2y+4z+D=0$

Приведем полученное уравнение к уравнению плоскости в отрезках (деление на $-D$ возможно, так как $D\neq 0$ - иначе отрезок на оси Оу был бы равен 0, плоскость проходила бы через начало координат):

$3x-2y+4z=-D \\ \\\frac{3x}{-D}- \frac{2y}{-D}+\frac{4z}{-D}=\frac{-D}{-D} \\ \\\frac{x}{-\frac{D}{3}}+ \frac{y}{\frac{D}{2}}+\frac{z}{-\frac{D}{4}}=1$

Получили уравнение плоскости в отрезках вида $\frac{x}{OA}+ \frac{y}{OB}+\frac{z}{OC}=1$, где ОА, ОВ, ОС - отрезки, отсекаемые плоскостью на осях Ох, Оу, Оz соотвественно

Так как $OB=5$, то $\frac{D}{2} =5$ и $D=10$

Общее уравнение плоскости: $3x-2y+4z+10=0$

Answer 2

Для составления уравнения плоскости, перпендикулярной к заданному вектору n=(3,-2,4) и проходящей через точку B(0, 5, 0), мы можем использовать общее уравнение плоскости:

Ax + By + Cz = D

где (A, B, C) - нормальный вектор плоскости, а (x, y, z) - произвольная точка на плоскости.

Так как плоскость перпендикулярна вектору n, то нормальный вектор плоскости сонаправлен с вектором n, а значит, он также равен (3, -2, 4).

Теперь мы знаем нормальный вектор (A, B, C) = (3, -2, 4) и точку на плоскости (x, y, z) = (0, 5, 0). Подставляя эти значения в общее уравнение плоскости, получаем:

3x - 2y + 4z = D

Теперь подставим координаты точки B(0, 5, 0) в уравнение:

3(0) - 2(5) + 4(0) = D -10 = D

Таким образом, уравнение плоскости будет:

3x - 2y + 4z = -10