Question

Найти длину гипотенузы в прямоугольном треугольнике, если сумма длин катетов равна 12, а площадь равна 11.

Answer 1

Ещё 2 способа решения.

Answer 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a, b;  гипотенузой c и площадью S.

По теореме Пифагора

$a^2+b^2=c^2$.

По условию a+b=12, тогда

$(a+b)^2=12^2\\a^2+b^2+2ab=144\\c^2+2ab=144\\c^2=144-2ab$

Площадь прямоугольного треугольника

$S=\frac{1}{2}ab$

По условию S=11, а значит

$\frac{1}{2}ab=11\\ ab=22$

Таким образом,

$c^2=144-2*22\\c^2=144-44\\c^2=100\\c=\sqrt{100} =10$

Ответ: 10.

Answer 3

Давайте обозначим длины катетов прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, а длину гипотенузы как $c$. Мы знаем, что сумма длин катетов равна 12:

$a + b = 12$

Также у нас есть информация о площади треугольника. Площадь прямоугольного треугольника можно выразить как половину произведения длин катетов:

$\text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = 11$

Теперь у нас есть система уравнений:

$$\begin{align*} a + b &= 12 \\ \frac{1}{2} \cdot a \cdot b &= 11 \end{align*}$$

Мы можем решить эту систему уравнений для $a$ и $b$. Выразим $a$ из первого уравнения:

$a = 12 - b$

Подставим это выражение для $a$ во второе уравнение:

$\frac{1}{2} \cdot (12 - b) \cdot b = 11$

Упростим уравнение:

$6b - \frac{1}{2}b^2 = 11$

Перенесём все члены в одну сторону:

$\frac{1}{2}b^2 - 6b + 11 = 0$

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

$b^2 - 12b + 22 = 0$

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно $b$. Можем решить его с помощью квадратного корня или других методов. По решению для $b$ мы сможем найти значение $a$ и, наконец, длину гипотенузы $c$ с помощью теоремы Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

Решение этого квадратного уравнения даст нам значения $b$ и $a$, а затем мы сможем найти $c$.