Question

Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 15, а сумма второго и четвертого 30. Найти сумму первых десяти членов прогрессии.

Answer 1

Ответ:3069

Пошаговое объяснение:

$b_{n} =b_{1} q^{n-1}$

$S=\frac{b_{1}(q^{n} -1) }{q-1}$

$b_{1} +b_{3} = 15;$ и $b_{2} +b_{4} =30$

Воспользуемся первой формулой:

$b_{2} +b_{4} =b_{1} q+b_{3} q=30$⇒$q = \frac{30}{b_{1} +b_{3} }$⇒$q = 2$

$b_{1} +b_{3} = b_{1} (1 + q^{2} )=15$⇒$b_{1} =3$

$S = \frac{3(2^{10} -1)}{2-1} = 3(1024-1) = 3* 1023= 3069$

Answer 2

Пусть первый член геометрической прогрессии равен "a", а знаменатель (отношение) прогрессии равен "r". Тогда второй член будет равен "ar", третий член "ar^2", четвертый член "ar^3" и так далее.

Из условия дано:

1. a + ar^2 = 15
2. ar + ar^3 = 30

Мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными "a" и "r". Давайте решим её.

Из первого уравнения выразим "a" через "r":

a = 15 - ar^2

Подставим это выражение во второе уравнение:

ar + ar^3 = 30

r(15 - ar^2) + ar^3 = 30 15r - ar^3 + ar^3 = 30 15r = 30 r = 2

Теперь, найдя значение "r", подставим его в выражение для "a":

a = 15 - ar^2 a = 15 - 2^2 a = 11

Итак, первый член "a" равен 11, а знаменатель "r" равен 2.

Теперь мы можем найти первые десять членов геометрической прогрессии:

1. a = 11
2. ar = 22
3. ar^2 = 44
4. ar^3 = 88
5. ar^4 = 176
6. ar^5 = 352
7. ar^6 = 704
8. ar^7 = 1408
9. ar^8 = 2816
10. ar^9 = 5632

Для нахождения суммы первых десяти членов геометрической прогрессии используется формула:

Сумма = a * (1 - r^n) / (1 - r),

где "a" - первый член, "r" - знаменатель, "n" - количество членов.

Подставим значения:

Сумма = 11 * (1 - 2^10) / (1 - 2) Сумма = 11 * (1 - 1024) / -1 Сумма = 11 * (-1023) / -1 Сумма = 11253

Таким образом, сумма первых десяти членов геометрической прогрессии равна 11253.