Question

Очень нужна помощь. Люди которые понимают высшую математику, спасите! Найти производную функции: y=5x^2-2/√x+sin π/4 и Вычислить неопределенный интеграл: x cos2x dx.

Answer 1

Ответ:

производная

$10x + \frac{1}{x \sqrt{x} }$

интеграл

$\frac{x \sin(2x) }{2} + \frac{ \cos(2x) }{4} + c$

Answer 2

Конечно, я готов помочь! Давайте рассмотрим ваши вопросы по очереди.

1. Найти производную функции: y = 5x^2 - 2/√x + sin(π/4):

Для нахождения производной данной функции, нужно применить правила дифференцирования. Пошагово проделаем вычисления:

a. Найдем производную первого слагаемого: 5x^2. y' = d/dx (5x^2) = 10x.

b. Производная второго слагаемого: -2/√x. Для этого слагаемого вам потребуется правило дифференцирования функции, содержащей степень в знаменателе (что и есть корень). y' = d/dx (-2/√x) = 2/x^(3/2).

c. Производная третьего слагаемого: sin(π/4). Производная синуса это косинус. y' = d/dx (sin(π/4)) = cos(π/4) = √2/2.

Итак, производная функции y по x: y' = 10x + 2/x^(3/2) + √2/2.

2. Вычислить неопределенный интеграл: ∫x * cos(2x) dx:

Для вычисления данного интеграла используем метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям: ∫u dv = uv - ∫v du.

Выберем u = x, dv = cos(2x) dx. Тогда du = dx, v = (1/2) * sin(2x).

Применяем формулу интегрирования по частям: ∫x * cos(2x) dx = x * (1/2) * sin(2x) - ∫(1/2) * sin(2x) dx.

Вычисляем первый член по формуле: x * (1/2) * sin(2x) = (1/2) * x * sin(2x).

Теперь интегрируем второй член: ∫(1/2) * sin(2x) dx = -(1/4) * cos(2x).

Итак, неопределенный интеграл: ∫x * cos(2x) dx = (1/2) * x * sin(2x) - (1/4) * cos(2x) + C,

где C - произвольная константа интегрирования.