Question

Указать число корней уравнения tg3x sin6x+cos6x - cos12x=0 на отрезке [0; 360]градусов.

Answer 1

Ответ:

$7$

Пошаговое объяснение:

ОДЗ:  $\cos{3x} \neq 0 \Leftrightarrow 3x\neq \frac{\pi}{2} +\pi n,~n \in Z \Leftrightarrow x\neq \frac{\pi}{6} +\frac{\pi n}{3} ,~n \in Z$

$tg3x\cdot \sin{6x}+\cos{6x}-\cos{12x}=0 \\\\ \frac{\sin{3x}}{\cos{3x}}\cdot \sin{(2\cdot 3x)}+(-2)\cdot \sin{\frac{6x-12x}{2} }\cdot \sin{\frac{6x+12x}{2}}=0\\\\ \frac{\sin{3x}}{\cos{3x}}\cdot 2\sin{3x}\cos{3x}-2\sin{\frac{-6x}{2} }\sin{\frac{18x}{2} }=0 \\ \\ 2\sin^2{3x}-2\sin{(-3x)}\sin{9x}=0 \\ \\ 2\sin^2{3x}-2(-\sin{3x})\sin{9x}=0$

$></p> <p><img src=$

так как $\cos{3x}\neq 0$, то

$></p> <p>Определим число корней уравнения на отрезке <img src=$:

$></p> <p>Так как n - целое число, то <img src=$

Имеем 7 значений n, значит, уравнение имеет 7 корней на отрезке $[0^{\circ};360^{\circ}]$

Answer 2

Для определения числа корней уравнения на заданном интервале, мы можем анализировать изменение знаков выражения на этом интервале. Уравнение дано как:

tg(3x) * sin(6x) + cos(6x) - cos(12x) = 0.

На интервале [0; 360] градусов можно рассмотреть следующие области, в которых знаки функций изменяются:

1. Возьмем первую часть уравнения tg(3x) * sin(6x). Функции tg(3x) и sin(6x) положительны на интервале [0; 90) градусов. Таким образом, их произведение положительно.

2. Рассмотрим вторую часть уравнения cos(6x). Функция cos(6x) положительна на интервалах [0; 60) и (300; 360] градусов.

3. Третья часть уравнения -cos(12x) всегда отрицательна.

Суммируя все три части уравнения, получим следующие области:

• На интервале [0; 60) градусов: положительное + положительное - отрицательное = положительное.
• На интервале [60; 90) градусов: положительное + положительное - отрицательное = положительное.
• На интервале [90; 300) градусов: положительное + положительное - отрицательное = положительное.
• На интервале [300; 360) градусов: положительное + положительное - отрицательное = положительное.

Таким образом, на всем интервале [0; 360] градусов уравнение tg(3x) * sin(6x) + cos(6x) - cos(12x) = 0 имеет только положительные значения, и следовательно, на этом интервале нет корней уравнения.