Question

Математика 11 класс, С13, А) найти корни. Б) [-3π ; -3π/2] 2sin²(π/2+x) - √2 cos x = 0

Answer 1

2sin²(π/2+x)-√2 cos x= 0

2cos²x-√2cosx=0

√2cosx*(√2cosx-1)=0

cosx=0; х=π/2+πk; k∈Z

√2cosx-1=0; x=±arccos(1/√2)+2πn; n∈Z ; x=±π/4+2πn; n∈Z ;

1) х∈[-3π ; -3π/2] нас интересуют корни, которые  попадут на указанный отрезок.

х=π/2+πk; k∈Z; при к =0 и положительных нет смысла проверять; берем к=-3; х=π/2-3π=-2.5π ∈[-3π ; -3π/2] ; к=-2; х=π/2-2π=-1.5π

∈[-3π ; -3π/2];

2) x=π/4+2πn;  n=-1; x=π/4-2π=-7/π/4;∈[-3π ; -3π/2];

3)  x=-π/4+2πn;  n=-1; x=-π/4-2π=-9/π/4;∈[-3π ; -3π/2];

Answer 2

Ответ:

Всё на фотографиях.

Пошаговое объяснение:

Здесь нужно воспользоваться формулой приведения для соотношений. В дальнейшем косинус просто-напросто сокращается с двух сторон. И в итоге у нас остаются две точки. Проверку я также провёл. Всё сошлось и два выражения превратились в ноль.

Answer 3

Давайте рассмотрим уравнение и попробуем найти его корни.

Уравнение: $2\sin^2\left(\frac{\pi}{2}+x\right) - \sqrt{2}\cos x = 0$

Для начала, давайте заметим, что $\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right) = \cos x$. Это следует из тригонометрической формулы синуса суммы.

Исходное уравнение можно переписать в следующем виде:

$2\cos^2 x - \sqrt{2}\cos x = 0$

Теперь давайте попробуем выразить $\cos x$ и решить уравнение.

Рассмотрим второй множитель: $\sqrt{2}\cos x$. Он будет равен нулю, если $\cos x = 0$. Следовательно, одним из корней уравнения будет $x = \frac{\pi}{2}$.

Теперь рассмотрим первый множитель: $2\cos^2 x$. Выразим его через $\cos x$:

$2\cos^2 x = 2(1 - \sin^2 x) = 2 - 2\sin^2 x$

Теперь мы можем подставить это обратно в уравнение:

$2 - 2\sin^2 x - \sqrt{2}\cos x = 0$

Поскольку мы уже знаем, что $\cos x = 0$ при $x = \frac{\pi}{2}$, мы можем применить это знание к уравнению:

$2 - 2\sin^2 x - \sqrt{2}\cos x = 2 - 2\sin^2 x$

Подставим значение $\cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)$:

$2 - 2\sin^2 x = 0$

Теперь разделим обе стороны на 2:

$1 - \sin^2 x = 0$

Это уравнение сводится к тождеству синуса:

$\sin^2 x = 1$

Теперь мы знаем, что $\sin^2 x = 1$, когда $\sin x = \pm 1$. Это происходит в точках, где синус равен 1 или -1, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ и $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ - целое число.

Итак, корни уравнения $2\sin^2\left(\frac{\pi}{2}+x\right) - \sqrt{2}\cos x = 0$ на отрезке $[-3\pi ; -\frac{3\pi}{2}]$ это $x = \frac{\pi}{2}$, $x = -\frac{\pi}{2}$, $x = -\frac{5\pi}{2}$, и так далее, при условии $n$ - целое число.

Пожалуйста, обратите внимание, что я использовал замечания о тригонометрических свойствах для решения уравнения.