Question

Точка D - середина стороны AB, точка M - середина стороны BC треугольника ABC. Высота AH пересекает отрезок DM в точке K так, что DK=2KM . Найдите длину стороны BC, если AB=7 и AC=8.

Answer 1

Поскольку точки D и M соединяют отрезок середин AB и BC соответственно, то DM — средняя линия треугольника ABC.

По теореме Менелая:

$\dfrac{BH}{HM}\cdot \dfrac{MK}{DK}\cdot \dfrac{DA}{AB}=1~\Rightarrow~\dfrac{BH}{HM}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{DA}{2DA}=1~~\Rightarrow~~ \dfrac{BH}{HM}=4$

Пусть $BH=4x$ и $HM=x$, тогда $BM=MC=5x$.

По теореме Пифагора из прямоугольных тр-ков ABH и AHC

$AB^2=BH^2+AH^2\\ AC^2=AH^2+CH^2$

От первого равенства отнимем второе, получим

$AB^2-AC^2=BH^2-CH^2\\ \\ 7^2-8^2=(4x)^2-(6x)^2\\ \\ (7-8)\cdot (7+8)=(4x-6x)\cdot (4x+6x)\\ \\ 15=2x\cdot 10x\\ \\ x^2=\dfrac{3}{4}\\ \\ x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Получаем $BC=2BM=10x=10\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$

Answer 2

Давайте решим эту задачу. Обозначим точку D - середину стороны AB, точку M - середину стороны BC треугольника ABC. Также, пусть точка H - основание высоты, опущенной из вершины A, и точка K - точка пересечения высоты AH и отрезка DM.

Мы знаем, что DK = 2KM. Поскольку M - середина стороны BC, отношение BM к MC равно 1:1. Поэтому, если KM обозначить как x, то MD также будет равно x. Теперь, с учетом условия DK = 2KM, мы можем записать следующее:

DM = DK + KM x = 2x + x x = 3x

Таким образом, получаем, что KM = x = 0.5DM.

Также, поскольку D - середина стороны AB, отношение AD к DB также равно 1:1. Значит, если AB обозначить как 7, то AD и DB будут равны 3.5 каждая.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AHK. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину стороны AK:

AK^2 = AH^2 + HK^2

Мы знаем, что HK = KM + MD, а KM = 0.5DM. Также, AH - это высота треугольника ABC, поэтому AH^2 = AC^2 - CH^2. CH - это половина стороны AB, то есть CH = 3.5.

Теперь можем записать:

AH^2 = AC^2 - CH^2 AH^2 = 8^2 - 3.5^2 AH^2 = 64 - 12.25 AH^2 = 51.75

Теперь выразим AK:

AK^2 = AH^2 + HK^2 AK^2 = 51.75 + (0.5DM + DM)^2 AK^2 = 51.75 + (1.5DM)^2 AK^2 = 51.75 + 2.25DM^2

С другой стороны, мы знаем, что AK = AD - DK. Заменяем DK на 2KM:

AK = AD - 2KM AK = 3.5 - 2(0.5DM) AK = 3.5 - DM

Теперь можем записать:

(3.5 - DM)^2 = 51.75 + 2.25DM^2

Раскрываем скобки:

12.25 - 7DM + DM^2 = 51.75 + 2.25DM^2

Переносим все на одну сторону:

0 = 39.5 + 1.25DM^2 - 7DM

Упрощаем:

7DM - 1.25DM^2 = 39.5

Теперь