Question

Найдите первообразную функции для функции f (x) = ( ln sin x +1)× cos x

Answer 1

Ответ:

$F(x)=(sinx+1) \ln (sinx+1)-sinx+C, \ C=const$

Пошаговое объяснение:

$F(x)=\int \ln(sinx+1)cosx \ dx=\begin{vmatrix} sinx+1=t\\ dt=cosx \ dx\end{vmatrix} = \int \ln t \ dt=$

интегрирование по частям

$=\begin{vmatrix} u=\ln t; \ dv=dt; \\du=\frac{dt}{t}; \ v=t. \end{vmatrix}=t \ln t -\int dt = t \ln t -t = |t=sinx+1| = \\ \\ =(sinx+1) \ln (sinx+1)-sinx-1+C = (sinx+1) \ln (sinx+1)-\\ \\ -sinx+C$

Answer 2

Для того чтобы найти первообразную функции f(x) = (ln(sin(x)) + 1) * cos(x), мы можем использовать метод интегрирования по частям. Давайте проделаем необходимые шаги.

Интегрируем по частям, используя формулу ∫u * v dx = u * ∫v dx - ∫(u' * ∫v dx) dx, где u и v - функции, а u' - производная функции u.

Пусть: u = ln(sin(x)) + 1, тогда u' = (1/sin(x)) * cos(x) = cos(x)/sin(x) = cot(x). dv = cos(x) dx, тогда v = ∫cos(x) dx = sin(x).

Теперь мы можем применить формулу интегрирования по частям: ∫(ln(sin(x)) + 1) * cos(x) dx = u * v - ∫(u' * v) dx = (ln(sin(x)) + 1) * sin(x) - ∫cot(x) * sin(x) dx.

Мы можем упростить второй интеграл, используя формулу ∫cot(x) * sin(x) dx = -ln|sin(x)| + C: ∫cot(x) * sin(x) dx = -ln|sin(x)| + C.

Теперь мы можем объединить результаты: ∫(ln(sin(x)) + 1) * cos(x) dx = (ln(sin(x)) + 1) * sin(x) + ln|sin(x)| + C, где C - произвольная постоянная.

Таким образом, первообразная функции f(x) = (ln(sin(x)) + 1) * cos(x) равна (ln(sin(x)) + 1) * sin(x) + ln|sin(x)| + C, где C - произвольная постоянная.