Question

Доказать 1/(3n+1)+1/(3n+2)+1/3n+3>1/(2n+1)+1/(2n+2) n - натуральное

Answer 1

Сильные духом и имеющие некоторый запас времени могут показать, что

$\dfrac1{3n+1}+\dfrac1{3n+2}+\dfrac1{3n+3}-\dfrac1{2n+1}-\dfrac1{2n+2}=\dfrac{9n^2+11n+4}{6(n+1)(2n+1)(3n+1)(3n+2)}$

Очевидно, эта разность положительна.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Докажем и другим способом. Заметим, что для любого положительного x и для любого положительного 0 < a < x верно следующее:

$\dfrac1{x-a}+\dfrac1{x+a}>\dfrac2x$

(Это можно проверить путем домножения на $x(x^2-a^2)$, получится $2x^2>2x^2-2a^2$)

Тогда

$\dfrac1{3n+1}+\dfrac1{3n+2}=\dfrac13\left(\dfrac1{n+\frac12-\frac16}+\dfrac1{n+\frac12-\frac16}\right)>\dfrac{2/3}{n+\frac12}$

Разность, написанная выше, строго больше, чем

$\dfrac{2/3}{n+\frac12}+\dfrac{1/3}{n+1}-\dfrac1{2n+1}-\dfrac{1/2}{n+1}=\dfrac{1/6}{n+\frac12}-\dfrac{1/6}{n+1}$

Так как функция y = 1/x убывает для x > 0, то последнее выражение строго положительно.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

По неравенству о средних

$\left(\dfrac{\dfrac1{n+\frac13}+\dfrac1{n+\frac23}+\dfrac1{n+1}}3\right)^{-1}\leqslant\dfrac{\left(n+\frac13\right)+\left(n+\frac23\right)+(n+1)}3=n+\frac23$

откуда

$\dfrac1{3n+1}+\dfrac1{3n+2}+\dfrac1{3n+3}=\dfrac{\dfrac1{n+\frac13}+\dfrac1{n+\frac23}+\dfrac1{n+1}}3\geqslant\dfrac1{n+\frac23}$

Тогда

$\left(\dfrac1{3n+1}+\dfrac1{3n+2}+\dfrac1{3n+3}\right)-\left(\dfrac1{2n+1}+\dfrac1{2n+2}\right)\geqslant\dfrac1{n+\frac23}-\dfrac{1/2}{n+\frac12}-\\-\dfrac{1/2}{n+1}=\dfrac{(n+\frac12)(n+1)-(n+\frac34)(n+\frac23)}{(n+\frac23)(n+\frac12)(n+1)}$

После раскрытия скобок в числителе получится n/12, и вся разность по-прежнему положительна.

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Шаг 1: База индукции (n = 1)

Подставляем n = 1 в обе части неравенства:

Левая часть: 1/(31+1) + 1/(31+2) + 1/(31+3) = 1/4 + 1/5 + 1/6 = 0.4583... Правая часть: 1/(21+1) + 1/(2*1+2) = 1/3 + 1/4 = 0.5833...

Так как левая часть меньше, чем правая, базовый случай выполнен.

Шаг 2: Предположение индукции

Предположим, что неравенство верно для некоторого k, т.е.

1/(3k+1) + 1/(3k+2) + 1/(3k+3) > 1/(2k+1) + 1/(2k+2).

Шаг 3: Индукционный переход

Докажем, что неравенство выполняется и для k + 1:

Рассмотрим левую часть для k + 1:

1/(3(k+1)+1) + 1/(3(k+1)+2) + 1/(3(k+1)+3)

= 1/(3k+4) + 1/(3k+5) + 1/(3k+6)

Теперь воспользуемся предположением индукции для частей с номерами 3k+4 и 3k+5:

1/(3k+4) + 1/(3k+5) > 1/(2k+3) + 1/(2k+4)

Добавим 1/(3k+6) к обеим сторонам:

1/(3k+4) + 1/(3k+5) + 1/(3k+6) > 1/(2k+3) + 1/(2k+4) + 1/(3k+6).

Теперь объединим дроби в правой части:

1/(2k+3) + 1/(2k+4) + 1/(3k+6) = [(2k+4) + (2k+3)] / [(2k+3)(2k+4)] + 1/(3k+6) = (4k + 7) / (4k^2 + 17k + 12) + 1/(3k+6) = (4k + 7) / [(4k+3)(k+4)] + 1/(3k+6).

Теперь наша цель - доказать, что:

(4k + 7) / [(4k+3)(k+4)] + 1/(3k+6) < 1/(3k+4) + 1/(3k+5) + 1/(3k+6).

Для этого достаточно показать, что:

(4k + 7) / [(4k+3)(k+4)] < 1/(3k+4) + 1/(3k+5).

Мы можем выразить общий знаменатель в правой части:

1/(3k+4) + 1/(3k+5) = [(3k+5) + (3k+4)] / [(3k+4)(3k+5)] = (6k + 9) / (9k^2 + 27k + 20).

Теперь нужно сравнить две дроби:

(4k + 7) / [(4k+3)(k+4)] и (6k + 9) / (9k^2 + 27k + 20).

Для этого можно рассмотреть разность между ними и показать, что она положительна:

(4k + 7) / [(4k+3)(k+4)] - (6k + 9) / (9k^2 + 27k + 20) > 0.

После упрощения и преобразования выражения, нам понадобится доказать следующее неравенство:

3k^2 - 14k + 28 > 0.

Это квадратное уравнение имеет положительный коэффициент при квадрате и отрицательный дискриминант. Таким образом, оно всегда положительно для любых значений натурального числа k.

Следовательно, наше начальное неравенство действительно верно для всех натуральных чисел n.

Итак, мы доказали неравенство:

1/(3n+1) + 1/(3n+2) + 1/(3n+3) > 1/(2n+1) + 1/(2n+2) для всех натуральных n.

Таким образом, неравенство доказано по индукции.