Question

1. Властивості та графіки степеневої, логарифмічної, показникової функцій. 2. Знайти похідну: f(x)=(x в 3 степені-1)(х в 2 степені+ х + 1) 3. Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо задано його вершини (0; 3) і (0; -3) і відстань між фокусами дорівнює 8.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

2.

f(x) = (x³ -1)(x²+x+1)

$f'(x) = ((x^3 -1)(x^2+x+1))' = \left[\begin{array}{ccc}(uv)' = vu'+v'u\\u= x^2+x+1\\v=x^3-1\end{array}\right]=\\ \\= (x^2+x+1)'(x^3 -1) + (x^2+x+1)(x^3 -1)' =$

$= (2x+1)(x^3 -1) + (x^2+x+1)(3x^2) = 5x^4+4x^3+3x^2-2x-1$

3.

уравнение эллипса

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

у нас есть b = 3; -3 (центр точка 0 - начало координат)

есть с, поскольку 2с = 8, с =4

надо найти а

есть формула

$b = \sqrt{a^2-c^2}$

b² = a² - c²  ⇒ 3² = a² - 4²  ⇒ a = ±5

уравнение

$\frac{x^2}{25} +\frac{y^2}{9} = 1$

Answer 2

Звісно, я допоможу з цими завданнями.

1. Властивості та графіки функцій:

Степенева функція: Степенева функція має вигляд f(x) = x^n, де n - це дійсне число. Властивості:

• Якщо n > 0, то функція зростає для всіх позитивних x та спадає для всіх від'ємних x.
• Якщо n < 0, то функція зростає для всіх від'ємних x та спадає для всіх позитивних x.
• Якщо n = 0, функція є константою.

Логарифмічна функція: Логарифмічна функція має вигляд f(x) = log_b(x), де b - база логарифму. Властивості:

• log_b(1) = 0 для будь-якої бази b.
• log_b(b) = 1 для будь-якої бази b.
• Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів: log_b(x * y) = log_b(x) + log_b(y).
• Логарифм частки дорівнює різниці логарифмів: log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y).

Показникова функція: Показникова функція має вигляд f(x) = a^x, де a - позитивне дійсне число. Властивості:

• Якщо a > 1, функція зростає.
• Якщо 0 < a < 1, функція спадає.
• a^0 = 1 для будь-якого позитивного a.
• a^(−x) = 1 / a^x.

2. Знаходження похідної: Для знаходження похідної функції f(x) = (x^3 - 1)(x^2 + x + 1), спершу використаємо правило добутку (product rule) для добутку двох функцій.

Правило добутку: (uv)' = u'v + uv'

Похідна першої функції: f'(x) = (3x^2)(x^2 + x + 1) + (x^3 - 1)(2x + 1)

3. Канонічне рівняння еліпса: Для знаходження канонічного рівняння еліпса потрібно знати довжини напівосей еліпса і координати його центру або фокусів. В цьому випадку ми знаємо координати вершин (0, 3) і (0, -3) та відстань між фокусами 8.

Знаючи, що відстань між фокусами дорівнює 2ae, де a - напівосі, e - ексцентриситет (e = c/a, де c - відстань від центра до фокуса), ми можемо обчислити a і c:

2ae = 8, a * e = 4.

Оскільки вершини лежать на вісі Y, центр еліпса також буде на вісі Y (координата X центру дорівнює 0). Тобто, центр буде у точці (0, 0).

Канонічне рівняння еліпса виглядає: (x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1, де a і b - напівосі.

Оскільки центр знаходиться в точці (0, 0), а вершини лежать на вісі Y, ми маємо a = 3 і b = 4.

Таким чином, канонічне рівняння еліпса буде: (x^2 / 9) + (y^2 / 16) = 1.