Question

Исследуйте на непрерывность функции y= x умнож sign x. ПОМОГИТЕ

Answer 1

$y=x*sgn(x)=\left\{\begin{array}{c}x*(-1)=-x,\;x0\end{array}\right.$

Функция f(x)=x непрерывна на всей области определения, g(x)=sgn(x) имеет единственный разрыв в точке x=0.

$\lim\limits_{x\to^-0}y(x)=\lim\limits_{x\to^-0}-x=0\\ \lim\limits_{x\to^+0}y(x)=\lim\limits_{x\to^+0}x=0\\ y(0)=0$ - а значит функция $y=x*sgn(x)$ непрерывна в точке 0.

А значит $y=x*sgn(x)$ непрерывна на всей области определения.

Answer 2

Конечно, давайте исследуем непрерывность функции $y = x \cdot \text{sign}(x)$, где $\text{sign}(x)$ - функция знака числа $x$:

$$\text{sign}(x) = \begin{cases} -1, & \text{если } x < 0, \\ 0, & \text{если } x = 0, \\ 1, & \text{если } x > 0. \end{cases}$$

Для начала, давайте рассмотрим различные области определения функции $y = x \cdot \text{sign}(x)$:

1. Когда $x < 0$: В этой области функция будет равна $y = x \cdot (-1) = -x$.

2. Когда $x = 0$: В этой точке функция равна $y = 0 \cdot 0 = 0$.

3. Когда $x > 0$: В этой области функция будет равна $y = x \cdot 1 = x$.

Теперь давайте проанализируем непрерывность функции в каждой из этих областей:

1. Когда $x < 0$: Функция $y = -x$ является линейной функцией и непрерывной на всей числовой прямой.

2. Когда $x = 0$: В этой точке значение функции равно 0, и она также непрерывна.

3. Когда $x > 0$: Функция $y = x$ также является линейной функцией и непрерывной на всей числовой прямой.

Таким образом, функция $y = x \cdot \text{sign}(x)$ будет непрерывной на всей числовой прямой, так как она состоит из двух непрерывных участков ($y = -x$ для $x < 0$ и $y = x$ для $x > 0$), а значение в точке $x = 0$ также непрерывно.