Question

Саша написав 26 послідовних натуральних чисел і вибрав десять з них. Сума обраних чисел виявилася простим числом. Чи може так бути, що сума інших 16 чисел — теж просте число?

Answer 1

Ответ:

Нет

Пошаговое объяснение:

Сумма 10 различных натуральных чисел не меньше 1+2+...+10=(10+1)*10/2=55.

Тогда сумма 16 различных натуральных больше 55.

Единственное четное простое число - 2.

Тогда, если каждая из указанных сумм оказалась простой, обе суммы оказались нечетными. Тогда их сумма, сумма исходных 26 чисел, четна.

Пусть были выбраны числа n, n+1,..., n+25. Их сумма равна (n+n+25)*26/2=(2n+25)*13=2*13n+25*13 - число нечётное

Противоречие.

А значит обе суммы оказаться простыми числами не могли

Answer 2

Не може бути, щоб сума інших 16 чисел була простим числом. Давайте розглянемо це ближче.

Якщо сума 10 обраних чисел виявилася простим числом, то вона не може бути парною (окрім числа 2). Це означає, що серед цих 10 чисел повинні бути принаймні 5 непарних чисел, оскільки сума двох парних чисел завжди буде парним числом.

Залишилося 16 чисел, і серед них має бути принаймні 8 парних чисел (так як 26 - 10 = 16). Оскільки сума двох парних чисел завжди буде парним числом, а просте число може бути тільки непарним числом (крім 2), сума 16 чисел не може бути простим числом.

Отже, неможливо, щоб сума інших 16 чисел була простим числом.