Question

Решить уравнение: cosx* cosx - sinx* sinx=√32/2 и отобрать его корни, принадлежащие. ДАЮ 60 БАЛОВ

Answer 1

$cos(x)^{2} - sin(x)^{2} = \frac{ \sqrt{32}}{2} \\ cos(2x) = \frac{ \sqrt{4 \times 4 \times 2} }{2} \\ cos(2x) = \frac{4 \sqrt{2} }{2} \\ cos(2x) = 2 \sqrt{2}$

Так как значения cos(x) лежат в пределах [-1;1], то данное уравнение не имеет решения (ведь значение 2√2 больше 1).

Но я имею смелость сказать, что Вы, возможно, ошиблись при написании примера. Может, вместо √32 вы хотели написать √3? Если так, то напишите пожалуйста об этом, ответ исправлю

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества, а именно тождество косинуса двойного угла:

cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x).

Используя данное тождество, мы можем переписать исходное уравнение следующим образом:

cos(2x) = √32/2.

Теперь найдем все значения 2x, для которых выполняется данное равенство:

2x = ±π/4 + 2πn, где n - целое число.

Теперь, чтобы найти значения x, нужно разделить оба выражения на 2:

x = ±π/8 + πn, где n - целое число.

Таким образом, все решения уравнения имеют вид:

x = ±π/8 + πn, где n - целое число.

Теперь мы можем отобрать корни, принадлежащие интервалу [0, 2π). Подставляя различные значения целого числа n, мы можем найти все корни в данном интервале.