Question

x^3+ax^2+(a+3)x=0 Найдите наибольшее Целое значение параметра а, при котором уравнение имеет единственное решение

Answer 1

Ответ:

5

Пошаговое объяснение:

$x(x^2+ax+a+3)=0$

Уравнение всегда имеет хотя бы один корень — это x = 0. Значит, чтобы этот корень был единственным, уравнение $x^2+ax+a+3=0$ либо не имеет корней, либо имеет единственный корень x = 0.

Если квадратное уравнение имеет корень x = 0, то, подставив это значение, получаем a = -3. Но тогда уравнение имеет и корень x = 3: $x^2-3x=x(x-3)=0\Rightarrow x=0;3$. Значит, a = -3 не подходит.

Если квадратное уравнение не имеет корней, его дискриминант отрицателен:

$D=a^2-4(a+3)=a^2-4a-12=(a+2)(a-6)$

Значит, a = 5 — наибольшее целое подходящее значение параметра.

Answer 2

Данное уравнение имеет единственное решение в том случае, если его дискриминант равен нулю. Дискриминант кубического уравнения вида $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ вычисляется по формуле:

$D = 18abcd - 4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 - 27a^2d^2.$

В данном случае $b = a$, $c = a + 3$, $d = 0$, так как у нас уравнение $x^3 + ax^2 + (a + 3)x = 0$.

Подставляя значения $b$, $c$ и $d$ в формулу для дискриминанта $D$, получим:

$D = 18a \cdot a \cdot 0 \cdot 0 - 4a^3 \cdot 0 + a^2(a + 3)^2 - 4a \cdot (a + 3)^3 - 27a^2 \cdot 0^2.$

Упрощая это выражение, получим:

$D = a^2(a + 3)^2 - 4a(a + 3)^3.$

Чтобы уравнение имело единственное решение, дискриминант должен равняться нулю:

$a^2(a + 3)^2 - 4a(a + 3)^3 = 0.$

Решим это уравнение:

$a(a + 3)^2 \cdot (a - 4(a + 3)) = 0.$

Таким образом, получаем два корня: $a = 0$ и $a = -12$. Однако параметр $a$ должен быть целым числом, поэтому единственным подходящим значением является $a = -12$.

Таким образом, наибольшее целое значение параметра $a$, при котором уравнение $x^3 + ax^2 + (a + 3)x = 0$ имеет единственное решение, равно $a = -12$.