Question

Найти частные производные первого и второго порядка следующей функции: z = ctg (3x −2y)

Answer 1

Ответ:

=======================================

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте найдем частные производные первого и второго порядка для функции $z = \cot(3x - 2y)$.

1. Частные производные первого порядка:

Сначала найдем частные производные функции $z$ по переменным $x$ и $y$.

a. По $x$: $\frac{\partial z}{\partial x} = -\csc^2(3x - 2y) \cdot \frac{\partial}{\partial x}(3x - 2y)$

Производная $\frac{\partial}{\partial x}(3x - 2y)$ равна 3, так как производная по $x$ от $3x$ равна 3, а производная по $x$ от $-2y$ равна 0.

Теперь вставим это значение обратно в уравнение:

$\frac{\partial z}{\partial x} = -3\csc^2(3x - 2y)$

b. По $y$: $\frac{\partial z}{\partial y} = -\csc^2(3x - 2y) \cdot \frac{\partial}{\partial y}(3x - 2y)$

Производная $\frac{\partial}{\partial y}(3x - 2y)$ равна -2, так как производная по $y$ от $3x$ равна 0, а производная по $y$ от $-2y$ равна -2.

Теперь вставим это значение обратно в уравнение:

$\frac{\partial z}{\partial y} = 2\csc^2(3x - 2y)$

2. Частные производные второго порядка:

a. По $x$: $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right) = \frac{d}{dx} \left( -3\csc^2(3x - 2y) \right)$

Используя правило цепочки, мы можем вычислить производную этой функции:

$\frac{d}{dx} \left( -3\csc^2(3x - 2y) \right) = -3\frac{d}{dx}\csc^2(u) \cdot \frac{d}{dx}(3x - 2y)$

где $u = 3x - 2y$. Теперь мы можем вычислить производные:

$\frac{d}{dx}\csc^2(u) = -2\csc(u)\cot(u)\frac{du}{dx}$

$\frac{du}{dx} = 3$

Теперь мы можем вернуться к вычислению второй производной:

$\frac{d}{dx} \left( -3\csc^2(3x - 2y) \right) = -3\left(-2\csc(3x - 2y)\cot(3x - 2y)\cdot 3\right)$

Упростим это выражение:

$\frac{d}{dx} \left( -3\csc^2(3x - 2y) \right) = 18\csc(3x - 2y)\cot(3x - 2y)$

b. По $y$: $\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{d}{dy} \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right) = \frac{d}{dy} \left( 2\csc^2(3x - 2y) \right)$