Question

Найти шестой член разложения бинома (x^2+2y)^10

Answer 1

Запишем выражение в виде суммы (формула бинома Ньютона)

$(x^2+2y)^{10}=\sum\limits_{k=0}^{10}C_{10}^k\cdot (x^2)^{10-k}\cdot (2y)^k$

Шестой член разложения бинома при $k=5$ равен $C^5_{10}x^{10}\cdot 32y^5=8064y^5x^{10}$

Answer 2

Разложение бинома (x^2 + 2y)^10 можно получить с помощью биномиальной теоремы. Коэффициенты перед каждым членом можно вычислить по формуле:

C(n, k) * (x^2)^(n-k) * (2y)^k,

где C(n, k) - биномиальный коэффициент, равный n! / (k! * (n - k)!).

Для нахождения шестого члена разложения, мы рассматриваем k = 5 (потому что члены считаются с нуля). Таким образом, шестой член будет:

C(10, 5) * (x^2)^(10-5) * (2y)^5.

Вычислим:

C(10, 5) = 10! / (5! * (10 - 5)!) = 252.

Теперь заменим в формуле:

(252) * (x^2)^(10-5) * (2y)^5.

Упростим степени:

(x^2)^5 = x^(2 * 5) = x^10.

(2y)^5 = 2^5 * y^5 = 32y^5.

Подставим значения:

252 * x^10 * 32y^5.

Таким образом, шестой член разложения равен:

8064 * x^10 * y^5.