Question

Решить дифференциальное уравнение: (x+2y)dx-xdy=0, заранее благодарю!

Answer 1

$x+2y-xy'=0\\ \dfrac{1}{x^2}=y'*\dfrac{1}{x^2}+y*(-\dfrac{2}{x^3})\\ \dfrac{1}{x^2}=(y*\dfrac{1}{x^2})'_x\\ y*\dfrac{1}{x^2}=-\dfrac{1}{x}+C\\ y=Cx^2-x$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения с разделяющимися переменными можно следовать следующим шагам:

1. Выразить уравнение в виде (уравнение с разделяющимися переменными): $(x + 2y)dx - xdy = 0$.

2. Разделить переменные, перемещая все слагаемые, содержащие $x$, на одну сторону уравнения, а все слагаемые, содержащие $y$, на другую сторону: $(x + 2y)dx = xdy$.

3. Разделить обе стороны на соответствующие переменные: $\frac{1}{x}dx + 2\frac{1}{x}ydy = dy$.

4. Интегрировать обе стороны уравнения: $\int \frac{1}{x}dx + 2\int ydy = \int dy$.

   $\ln|x| + y^2 = y + C$,

   где $C$ — постоянная интегрирования.

5. Перенести все слагаемые, содержащие $y$, на одну сторону уравнения: $\ln|x| + y^2 - y - C = 0$.

6. Это уравнение можно рассматривать как уравнение относительно $y$, где оно зависит от $x$ через логарифм $|x|$. Для нахождения точного решения можно использовать численные методы, так как это нелинейное уравнение второго порядка.

Обратите внимание, что данное уравнение не имеет аналитического решения в виде элементарных функций. В общем случае, чтобы найти конкретное решение, необходимо использовать численные методы или аппроксимации.