Question

Y^2dx=e^xdy,y(0)=1. Дифференциальное уравнение 1 порядка, решить и найти частные решения

Answer 1

$y^2dx=e^xdy\\e^{-x}dx=y^{-2}dy\\-e^{-x} + C = -{1\over y}\\y=-{1\over C-e^{-x}}=-{e^x\over Ce^x-1}\\\\y(0)=-{1\over C-1}=1\\C=0\\y=e^x$

Answer 2

У вас дано дифференциальное уравнение \(y^2 dx = e^x dy\) с начальным условием \(y(0) = 1\). Давайте решим его.

Первым шагом можно переписать уравнение в виде, удобном для последующих шагов:

\[y^2 dx = e^x dy\]

Теперь давайте разделим переменные, поместив все \(x\)-термы слева, а \(y\)-термы справа:

\[\frac{1}{y^2} dy = e^x dx\]

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

\[\int \frac{1}{y^2} dy = \int e^x dx\]

Интеграл левой части:

\[-\frac{1}{y} = e^x + C_1\]

где \(C_1\) - постоянная интеграции.

Теперь выразим \(y\):

\[y = -\frac{1}{e^x + C_1}\]

Используем начальное условие \(y(0) = 1\) для нахождения конкретного значения постоянной:

\[1 = -\frac{1}{e^0 + C_1}\] \[1 = -\frac{1}{1 + C_1}\] \[C_1 = 0\]

Теперь, когда мы знаем значение \(C_1\), можем записать частное решение в виде:

\[y = -\frac{1}{e^x}\]

Это частное решение уравнения с данным начальным условием \(y(0) = 1\).